Calcule:
a) \int_{-2}^{1} \frac{d x}{(2 x+1)^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria
\int_{-2}^{1} \frac{dx}{(2x+1)^{2}}.
O conteúdo aqui é o tratamento de integral imprópria com descontinuidade interna, e vamos precisar de duas coisas:
  1. Encontrar a primitiva de \frac1{(2x+1)^2} via substituição.
  2. Reconhecer o ponto de descontinuidade 2x+1=0 (isto é, x=-\tfrac12) e aplicar a definição de integral imprópria, dividindo o intervalo em torno de x=-\tfrac12.

Passo 2

Identificamos que 2x+1=0 em x=-\tfrac12, que está dentro de [-2,1]. Logo, escrevemos
\int_{-2}^{1} \frac{dx}{(2x+1)^{2}} = \lim_{a\to(-\frac12)^-}\int_{-2}^{a}\frac{dx}{(2x+1)^{2}} + \lim_{b\to(-\frac12)^+}\int_{b}^{1}\frac{dx}{(2x+1)^{2}}.

Passo 3

Calculemos a primitiva. Faça u=2x+1, então du=2\,dx ou dx=\tfrac{du}{2}.
\int \frac{dx}{(2x+1)^{2}} = \frac12\int u^{-2}\,du = \frac12\bigl(-u^{-1}\bigr)+C = -\frac{1}{2u}+C = -\frac{1}{2(2x+1)}+C.

Passo 4

Definimos F(x)=-\tfrac1{2(2x+1)}.
Para o primeiro limite:
\int_{-2}^{a}\frac{dx}{(2x+1)^{2}} = F(a)-F(-2) = \biggl(-\frac1{2(2a+1)}\biggr) - \biggl(-\frac1{2(2(-2)+1)}\biggr).
Quando a\to(-\tfrac12)^-, 2a+1\to0^- e -\tfrac1{2(2a+1)}\to +\infty. Portanto esse primeiro termo diverge para +\infty.

Passo 5

Bastou notar que a parte de [-2,-\tfrac12) já dá divergência infinita. Não é necessário nem avaliar o segundo limite: a integral imprópria é divergente.

Resposta

A integral diverge (não existe valor finito).

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