Calcule:
c) integral0^5 raiz3 d x25+x^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral que é integral0^5 raiz3 dx25 + x^2. Aqui estamos lidando com cálculo integral, especificamente com a integração de uma função racional do tipo 1a^2 + x^2. Vamos precisar usar a fórmula de integração que envolve a função arco-tangente ( tan^-1).

Passo 2

Primeiro, identifique a na nossa expressão. Comparando 125 + x^2 com 1a^2 + x^2, vemos que a^2 = 25, então a = 5.

Passo 3

A fórmula para integrar 1a^2 + x^2 é:
integral dxa^2 + x^2 = 1a tan^-1(xa) + C
Vamos aplicar essa fórmula à nossa integral:
integral0^5 raiz3 dx25 + x^2 = 15 [ tan^-1(x5) ]0^5 raiz3

Passo 4

Agora, precisamos avaliar a função arco-tangente nos limites de integração. Primeiro, para x = 5 raiz3:
tan^-1(5 raiz35) = tan^-1(raiz3)
Sabemos que tan(pi3) = raiz3, então:
tan^-1(raiz3) = pi3
Para o limite inferior x = 0:
tan^-1(05) = tan^-1(0) = 0

Passo 5

Substituindo esses valores na expressão:
15 [ pi3 - 0 ] = pi15

Resposta

O valor da integral é dfracpi15.

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