Seja
uma curva paramentrizada regular de classe
, tal que
, para todo
em
.
Mostre que, para todo
em
, tem-se que o vetor binormal de
é dado por:
Mostre que, para todo
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o vetor binormal definido por
coincide com a expressão
. Vamos usar as definições de vetor tangente
e normal principal
.
Passo 2
Definimos o vetor tangente e o vetor normal principal por
Passo 3
Como o binormal é
, temos
Passo 4
Agora mostramos que
. De fato, derivando
e usando que a parte paralela de
não contribui no produto vetorial, obtém-se
Passo 5
Em seguida, computamos a norma
Passo 6
Juntando tudo em
e substituindo as identidades acima, vem
Passo 7
que era o que queríamos demonstrar.
Resposta
B(t)=\frac{\gamma’(t)\times\gamma’’(t)}{|\gamma’(t)\times\gamma’’(t)|}