Seja gamma:[a, b] R^3 uma curva paramentrizada regular de classe C^2, tal que T^prime(t) neq 0, para todo t em [a, b].
Mostre que, para todo t em [a, b], tem-se que o vetor binormal de gamma é dado por:
B(t)=gamma^prime(t) times gamma^prime prime(t)|gamma^prime(t) times gamma^prime prime(t)|

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o vetor binormal definido por B(t)=T(t)times N(t) coincide com a expressão dfracgamma'(t)timesgamma''(t)|gamma'(t)timesgamma''(t)|. Vamos usar as definições de vetor tangente T e normal principal N.

Passo 2

Definimos o vetor tangente e o vetor normal principal por
T(t)=gamma derivada(t)|gamma'(t)|, N(t)=T'(t)|T'(t)|

Passo 3

Como o binormal é B=Ttimes N, temos
B(t)=T(t)times N(t)=gamma'(t)|gamma'(t)|timesT'(t)|T'(t)| = gamma'(t)times T'(t)|gamma'(t)|,|T'(t)|

Passo 4

Agora mostramos que gamma'(t)times T'(t)=dfracgamma'(t)timesgamma''(t)|gamma'(t)|. De fato, derivando T=gamma'/|gamma'| e usando que a parte paralela de gamma'' não contribui no produto vetorial, obtém-se
gamma'times T'=gamma'timesgamma''|gamma'|

Passo 5

Em seguida, computamos a norma
|gamma'(t)timesgamma''(t)|=|gamma'(t)|^2,|T'(t)|

Passo 6

Juntando tudo em B(t)=dfracgamma'times T'|gamma'||T'| e substituindo as identidades acima, vem
B(t)=gamma'(t)timesgamma''(t)|gamma'(t)timesgamma''(t)|,

Passo 7

que era o que queríamos demonstrar.

Resposta

B(t)=\frac{\gamma’(t)\times\gamma’’(t)}{|\gamma’(t)\times\gamma’’(t)|}

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