Calcule:
a) integral d xraiz4-9 x^2

Passo 1

Então, temos que calcular a integral integral dxraiz4 - 9x^2. Isso envolve conhecimentos de cálculo, especialmente integrais que envolvem funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada no denominador da fração: raiz4 - 9x^2. Podemos reescrever isso para facilitar a integral. Observe que 9x^2 pode ser escrito como (3x)^2, então:
raiz4 - 9x^2 = raiz4 - (3x)^2

Passo 3

Agora, reconhecemos que a expressão está na forma raiza^2 - (bx)^2, onde a = 2 e b = 3. Essa forma nos lembra da integral padrão:
integral dxraiza^2 - x^2 = arcsin(xa) + C
Mas aqui temos um 3x dentro da raiz, então precisamos fazer uma substituição para ajustar isso.

Passo 4

Vamos fazer a substituição u = 3x. Para isso, calculamos a derivada de u em relação a x:
du = 3 dx Rightarrow dx = du3

Passo 5

Substituindo u e dx na integral original:
integral dxraiz4 - 9x^2 = integral du3raiz4 - u^2 = 13 integral duraiz4 - u^2

Passo 6

Agora, aplicamos a fórmula da integral padrão mencionada no Passo 3:
integral duraiz4 - u^2 = arcsin(u2) + C
Portanto,
13 integral duraiz4 - u^2 = 13 arcsin(u2) + C

Passo 7

Finalmente, voltamos à variável original x, lembrando que u = 3x:
13 arcsin(3x2) + C

Resposta

A solução da integral é:
integral dxraiz4 - 9x^2 = 13 arcsin(3x2) + C

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