Seja gamma:[a, b] R^3 uma curva paramentrizada regular de classe C^2, tal que T^prime(t) neq 0, para todo t em [a, b].
Mostre que, se existe uma função varphi:[c, d] [a, b] de classe C^1, invertível, com varphi^prime(u)>0 para todo u em [c, d], então a reparametrização beta:[c, d] R^3, com beta(u)=gamma(varphi(u)) é tal que o triedro T, N, B, em qualquer ponto da curva, independe da escolha da parametrização, gamma ou beta.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, ao reparametrizar uma curva regular de classe C² usando uma função classe C¹ inversível e estritamente crescente, o triedro de Frenet {T,N,B} não muda. Estamos trabalhando com definições de vetor tangente unitário T, vetor normal principal N e binormal B, além da regra da cadeia para derivadas.

Passo 2

Primeiro, calculamos a derivada de β. Como β(u)=γ(φ(u)), pela regra da cadeia temos
β'(u)=γ'(φ(u)),φ'(u)
O vetor tangente unitário de β é
Tβ(u)=β'(u)lVert β'(u)rVert=γ'(φ(u)),φ'(u)lVert γ'(φ(u))rVert,φ'(u)=γ'(φ(u))lVert γ'(φ(u))rVert=Tγ(φ(u))

Passo 3

Agora derivamos T_β para encontrar o vetor normal de β. Como T_β(u)=T_γ(φ(u)), pela regra da cadeia:
T'β(u)=T'γ(φ(u)),φ'(u)
Logo,
lVert T'β(u)rVert=lVert T'γ(φ(u))rVert,φ'(u)
e o vetor normal principal de β é
Nβ(u)=T'β(u)lVert T'β(u)rVert=T'γ(φ(u))lVert T'γ(φ(u))rVert=Nγ(φ(u))

Passo 4

Por fim, o binormal de Frenet é défino por produto vetorial: para β temos
Bβ(u)=Tβ(u)times Nβ(u)=Tγ(φ(u))times Nγ(φ(u))=Bγ(φ(u))
Isto mostra que, ponto a ponto, os vetores T, N e B coincide para γ e β.

Passo 5

Concluímos, portanto, que o triedro de Frenet {T,N,B} independe da parametrização escolhida, desde que a reparametrização seja classe C¹, inversível e com derivada positiva.

Resposta

O triedro de Frenet {T,N,B} de β coincide com o de γ, isto é, {T_β(u),N_β(u),B_β(u)}={T_γ(φ(u)),N_γ(φ(u)),B_γ(φ(u))}, mostrando a independência da parametrização.

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