Seja
uma curva paramentrizada regular de classe
, tal que
, para todo
em
.
Mostre que, se existe uma função
de classe
, invertível, com
para todo
em
, então a reparametrização
, com
é tal que o triedro
, em qualquer ponto da curva, independe da escolha da parametrização,
ou
.
Mostre que, se existe uma função
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, ao reparametrizar uma curva regular de classe C² usando uma função classe C¹ inversível e estritamente crescente, o triedro de Frenet {T,N,B} não muda. Estamos trabalhando com definições de vetor tangente unitário T, vetor normal principal N e binormal B, além da regra da cadeia para derivadas.
Passo 2
Primeiro, calculamos a derivada de β. Como β(u)=γ(φ(u)), pela regra da cadeia temos
O vetor tangente unitário de β é
Passo 3
Agora derivamos T_β para encontrar o vetor normal de β. Como T_β(u)=T_γ(φ(u)), pela regra da cadeia:
Logo,
e o vetor normal principal de β é
Passo 4
Por fim, o binormal de Frenet é défino por produto vetorial: para β temos
Isto mostra que, ponto a ponto, os vetores T, N e B coincide para γ e β.
Passo 5
Concluímos, portanto, que o triedro de Frenet {T,N,B} independe da parametrização escolhida, desde que a reparametrização seja classe C¹, inversível e com derivada positiva.
Resposta
O triedro de Frenet {T,N,B} de β coincide com o de γ, isto é, {T_β(u),N_β(u),B_β(u)}={T_γ(φ(u)),N_γ(φ(u)),B_γ(φ(u))}, mostrando a independência da parametrização.