Calcule
, onde
é a curva parametrizada por
resp.:
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha
ao longo da curva
,
.
O conteúdo é integral de linha de campo vetorial e vamos usar o Teorema de Gradiente: se o campo for conservativo (isto é, existir potencial ), então
O conteúdo é integral de linha de campo vetorial e vamos usar o Teorema de Gradiente: se o campo for conservativo (isto é, existir potencial
Passo 2
Verificamos que o campo
com
é conservativo em
(região simplesmente conexa onde nossa curva vive). Basta conferir
Como todas as igualdades ocorrem, existe potencial
.
Passo 3
Construímos
integrando
em
:
Então
deve ser igual a
, logo
e
.
Agora deve dar
, logo
e
.
Portanto
Agora
Portanto
Passo 4
Calculamos as imagens dos extremos da curva:
Então
A integral é