Calcule integralC(2 x y z+sin x) d x+(x^2 z+e^y) d y+(x^2 y+1z) d z, onde C é a curva parametrizada por gamma(t)=(cos ^3 t, sin ^2 t,((t+1)^2), 0 <= t <= pi ( resp.: 2 ln (pi+1)).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
integralCl(2xyz+sin xr),dx+l(x^2z+e^yr),dy+l(x^2y+1zr),dz
ao longo da curva gamma(t)=(cos^3t,;sin^2t,;(t+1)^2), 0<= t<=pi.
O conteúdo é integral de linha de campo vetorial e vamos usar o Teorema de Gradiente: se o campo for conservativo (isto é, existir potencial phi), então
integralCnablaphicdot d r=phil(gamma(pi)r)-phil(gamma(0)r)

Passo 2

Verificamos que o campo F=(P,Q,R) com
P=2xyz+sin x, Q=x^2z+e^y, R=x^2y+1z
é conservativo em z>0 (região simplesmente conexa onde nossa curva vive). Basta conferir
partial Ppartial y=2xz, partial Qpartial x=2xz;
partial Ppartial z=2xy, partial Rpartial x=2xy;
partial Qpartial z=x^2, partial Rpartial y=x^2
Como todas as igualdades ocorrem, existe potencial phi.

Passo 3

Construímos phi integrando P em x:
phi(x,y,z)=integral(2xyz+sin x),dx =x^2yz-cos x+g(y,z)
Então partialphipartial y=x^2z+gy deve ser igual a Q=x^2z+e^y, logo gy=e^y e g(y,z)=e^y+h(z).
Agora partialphipartial z=x^2y+h'(z) deve dar R=x^2y+1z, logo h'(z)=1/z e h(z)=ln z.
Portanto
phi(x,y,z)=x^2yz-cos x+e^y+ln z

Passo 4

Calculamos as imagens dos extremos da curva:
gamma(0)=(1,0,1), gamma(pi)=(-1,0,(pi+1)^2)
Então
phil(gamma(pi)r)=(-1)^2cdot0cdot(pi+1)^2-cos(-1)+e^0+lnl((pi+1)^2r) =-cos1+1+2ln(pi+1),
phil(gamma(0)r)=1^2cdot0cdot1-cos1+e^0+ln1 =-cos1+1+0
A integral é
phil(gamma(pi)r)-phil(gamma(0)r) =2ln(pi+1)

Resposta

2ln(pi+1)

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