Determine se a série é convergente ou divergente.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\ln (n+1)}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a série
sumn=1^infty1ln(n+1)
é convergente ou divergente.
O conteúdo aqui é teste de comparação de séries positivas: se conseguimos comparar os termos an=tfrac1ln(n+1) com uma série cuja convergência ou divergência já é conhecida (como a harmônica), podemos concluir o comportamento da dada.

Passo 2

Usamos a desigualdade conhecida
ln(1+x)<= xpara todo x>-1
Tomando x=n>=1, obtemos
ln(n+1)<= n Longrightarrow 1ln(n+1)>=1n

Passo 3

A série harmônica
sumn=1^infty1n
é divergente. Como para todo n>=1 temos
1ln(n+1)>=1n,
pelo teste da comparação direta a série
sumn=1^infty1ln(n+1)
também é divergente.

Resposta

A série é divergente.

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