Resolva as equações
3 y^2+5-x^2 y y^prime=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
3y^2+5 ;-; x^2y,dydx=0
Este é um problema de equação diferencial de variáveis separáveis: podemos escrever o termo com dy/dx isolado e depois separar x de y para integrar.

Passo 2

Reescrevendo a equação para isolar dydx:
x^2y,dydx = 3y^2+5 Longrightarrow dydx = 3y^2+5x^2y
Agora separamos as variáveis, colocando todos os fatores com y no lado esquerdo e os com x no lado direito:
y3y^2+5,dy = 1x^2,dx

Passo 3

Integramos ambos os lados:
integral y3y^2+5,dy = integral 1x^2,dx

Passo 4

Calculamos as duas integrais:
— No lado esquerdo, use u=3y^2+5, de modo que du=6y,dy. Assim
integral y3y^2+5,dy = integral 16,duu = 16lnl|ur| = 16lnl|3y^2+5r|
— No lado direito,
integral x^-2,dx = -,1x + C,
onde C é constante de integração.

Passo 5

Igualando as duas primitivas temos
16lnl|3y^2+5r| = -1x + C
Multiplicando por 6 e agrupando constantes,
lnl|3y^2+5r| = -6x + C1 Longrightarrow 3y^2+5 = K,e^-6/x,
onde K = e^C1 é uma constante positiva (ou negativa, se permitirmos valor absoluto). Finalmente,
y^2 = K,e^-6/x - 53,
de onde
y(x) = pm raizK,e^-6/x - 53

Resposta

y(x) = pm raizK,e^-6/x - 53,
onde K é constante de integração.

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