Determine se a série é convergente ou divergente.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{\sqrt{3 n+2}}

Passo 1

O enunciado nos pede para estudar a convergência da série
sumn=1^infty nraiz3n+2
O conteúdo envolve séries numéricas e, em especial, o teste do termo geral (ou critério da divergência).

Passo 2

Vamos analisar o comportamento assintótico do termo geral
an = nraiz3n+2
Reescrevendo em forma de raiz, temos
an = raizn^23n+2 = raizn3 + tfrac2n

Passo 3

Agora calculamos o limite quando ntoinfty:
limntoinftyan = limntoinftyraizn3 + tfrac2n = raizlimntoinftyn3 + tfrac2n = raizinfty3+0 = infty
Logo, an não tende a zero; pelo contrário, cresce sem limite.

Passo 4

Pelo teste do termo geral, se limntoinftyan neq 0, a série sum an diverge.

Resposta

A série diverge.

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