Calcule, em cada caso, a integral duplaD f(x, y) d x d y e esboce o domínio D.
f) f(x, y)=1ln y e D=(x, y) in R^2 ; 2 <= y <= 3,0 <= x <= 1y.

Passo 1

O exercício pede para calcular a integral dupla de f(x,y)=1ln y sobre o domínio D=(x,y)in R^2:2<= y<=3,;0<= x<=1/y e também esboçar esse domínio. O conteúdo envolvido é cálculo de integrais iteradas em uma região de R^2, usando a ideia de integrar primeiro em x e depois em y.

Passo 2

Vamos escrever a integral dupla como uma integral iterada. Temos
integral duplaD 1ln y,dx,dy =integraly=2^3integralx=0^1/y 1ln y,dx,dy

Passo 3

Na integral interna, 1ln y é constante em x. Logo
integralx=0^1/y 1ln y,dx =1ln yintegral0^1/ydx =1ln ycdot1y =1yln y

Passo 4

Substituindo na integral em y, obtemos
integral2^31yln y,dy
Para resolver, fazemos a substituição u=ln y, de modo que du=dy/y. A integral passa a ser integral du/u.

Passo 5

Integrando, temos
integral2^31yln y,dy =integralln2^ln31u,du =l[ln|u|r]ln2^ln3 =ln(ln3)-ln(ln2) =lnl(ln3ln2r)

Passo 6

O domínio D fica entre as retas horizontais y=2 e y=3, limitado à esquerda por x=0 e à direita pela curva x=1/y, que decresce de 1/2 até 1/3. É uma faixa curvada que se estreita conforme y cresce.

Resposta

lnl(tfracln3ln2r)

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