Calcule as seguintes integrais:
integral(x sen x^2) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integral xsin(x^2),dx. O conteúdo principal é técnica de integração por substituição, pois vemos no integrando uma função composta sin(x^2) e seu “quase” derivado x,dx. Vamos usar essa ideia para simplificar.

Passo 2

Definimos a variável de substituição u = x^2. Ao derivar, obtemos du = 2x,dx, o que nos dá a relação
x,dx = 12,du

Passo 3

Reescrevemos a integral original trocando x^2 por u e x,dx por tfrac12du. Assim,
integral xsin(x^2),dx = integral sin(u) cdot 12,du = 12integral sin(u),du

Passo 4

Agora integramos sin(u). Sabemos que
integral sin(u),du = -cos(u) + C
Então
12integral sin(u),du = -12cos(u) + C

Passo 5

Por fim, voltamos à variável original usando u = x^2. A solução geral da integral é
-12cos(x^2) + C

Resposta

-\frac{1}{2}\cos(x^2) + C

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