Calcule, em cada caso, a
e esboce o domínio
.
d)
e
e
.
d)
Passo 1
A questão pede para calcular a integral dupla de f(x,y)=xy√(x²+y²) sobre o domínio D definido por 0≤x≤1 e 0≤y≤1. O conteúdo aqui é integração dupla em domínio retangular e usaremos integração iterada com substituição para resolver.
Passo 2
O domínio D é o quadrado unitário no primeiro quadrante, ou seja, todos os pontos (x,y) com x e y variando de 0 a 1. Geometricamente, é o quadrado de vértices (0,0),(1,0),(1,1),(0,1).
Passo 3
Montamos a integral dupla iterada de acordo com as fronteiras de D:
Passo 4
Para resolver a integral interna em y, fixamos x e usamos a substituição
Os limites em u vão de x^2 (quando y=0) até x^2+1 (quando y=1). Assim,
Passo 5
Substituindo na integral externa, temos
Passo 6
Agora calculamos cada parte separadamente. Para a primeira, fazemos t=x^2+1, dt=2x dx:
Para a segunda, é integral de potência:
Passo 7
Finalmente, combinamos os resultados: