Calcule, em cada caso, a integral duplaD f(x, y) d x d y e esboce o domínio D.
d) f(x, y)=x y raizx^2+y^2 e D=(x, y) in R^2 ; 0 <= x <= 1 e 0 <= y <= 1.

Passo 1

A questão pede para calcular a integral dupla de f(x,y)=xy√(x²+y²) sobre o domínio D definido por 0≤x≤1 e 0≤y≤1. O conteúdo aqui é integração dupla em domínio retangular e usaremos integração iterada com substituição para resolver.

Passo 2

O domínio D é o quadrado unitário no primeiro quadrante, ou seja, todos os pontos (x,y) com x e y variando de 0 a 1. Geometricamente, é o quadrado de vértices (0,0),(1,0),(1,1),(0,1).

Passo 3

Montamos a integral dupla iterada de acordo com as fronteiras de D:
integral duplaD xyraizx^2+y^2,dx,dy = integral0^1integral0^1 x y raizx^2+y^2 ,dy,dx

Passo 4

Para resolver a integral interna em y, fixamos x e usamos a substituição
u = x^2 + y^2, du = 2y,dy implies y,dy = du2
Os limites em u vão de x^2 (quando y=0) até x^2+1 (quando y=1). Assim,
integral0^1 x y raizx^2+y^2 ,dy = x cdot 12 integralu=x^2^x^2+1 u^1/2 ,du = x3l((x^2+1)^3/2-x^3r)

Passo 5

Substituindo na integral externa, temos
integral0^1x3l((x^2+1)^3/2-x^3r),dx = 13integral0^1x(x^2+1)^3/2,dx - 13integral0^1x^4,dx

Passo 6

Agora calculamos cada parte separadamente. Para a primeira, fazemos t=x^2+1, dt=2x dx:
integral0^1x(x^2+1)^3/2,dx = 12integral1^2t^3/2,dt = 15(2^5/2-1)
Para a segunda, é integral de potência:
integral0^1x^4,dx = 15

Passo 7

Finalmente, combinamos os resultados:
13cdot15(2^5/2-1) - 13cdot15 = 2^5/2-215 = 2(2raiz2-1)15

Resposta

integral duplaDxyraizx^2+y^2,dx,dy = 2(2raiz2-1)15

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