Calcule
ao longo do segmento de reta
desde
até
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a integral de linha
ao longo de um segmento de reta
que vai do ponto
até o ponto
. Aqui, o campo vetorial é dado por
. Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de integral de linha em campos vetoriais, que basicamente calcula o trabalho realizado por um campo ao longo de uma trajetória.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o caminho que estamos seguindo. O segmento de reta
vai de
até
. Observando as coordenadas, vemos que ambos os pontos têm
, ou seja, estamos movendo-nos ao longo do eixo
.
Passo 3
Agora, vamos parametrizar o caminho
. Como estamos movendo ao longo do eixo
, podemos definir um parâmetro
que varia de
a
, representando o valor de
. Assim, a parametrização fica:
Passo 4
Em seguida, calculamos a derivada da posição em relação a
, que nos dá o vetor diferencial
:
Portanto,
Passo 5
Agora, substituímos a parametrização na expressão do campo vetorial
:
Passo 6
Calculamos o produto escalar
:
Passo 7
Finalmente, integramos essa expressão de
até
:
Resolvendo a integral:
Avaliado de
a
:
Resposta
O valor da integral de linha é
.