Calcule integralC F cdot d r ao longo do segmento de reta C desde P até Q.
F(x, y)=8 x i+3 y j P(-1,0), Q(6,0)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a integral de linha integralC F cdot dr ao longo de um segmento de reta C que vai do ponto P(-1,0) até o ponto Q(6,0). Aqui, o campo vetorial é dado por F(x, y) = 8x,i + 3y,j. Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de integral de linha em campos vetoriais, que basicamente calcula o trabalho realizado por um campo ao longo de uma trajetória.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o caminho que estamos seguindo. O segmento de reta C vai de P(-1,0) até Q(6,0). Observando as coordenadas, vemos que ambos os pontos têm y = 0, ou seja, estamos movendo-nos ao longo do eixo x.

Passo 3

Agora, vamos parametrizar o caminho C. Como estamos movendo ao longo do eixo x, podemos definir um parâmetro t que varia de -1 a 6, representando o valor de x. Assim, a parametrização fica:
r(t) = t,i + 0,j onde t in [-1, 6]

Passo 4

Em seguida, calculamos a derivada da posição em relação a t, que nos dá o vetor diferencial dr:
drdt = ddt(t,i + 0,j) = 1,i + 0,j
Portanto,
dr = i,dt

Passo 5

Agora, substituímos a parametrização na expressão do campo vetorial F(x, y):
F(r(t)) = 8t,i + 3 cdot 0,j = 8t,i

Passo 6

Calculamos o produto escalar F cdot dr:
F cdot dr = (8t,i) cdot (i,dt) = 8t cdot 1 cdot dt = 8t,dt

Passo 7

Finalmente, integramos essa expressão de t = -1 até t = 6:
integralC F cdot dr = integral-1^6 8t,dt
Resolvendo a integral:
integral 8t,dt = 4t^2 + C
Avaliado de -1 a 6:
4(6)^2 - 4(-1)^2 = 4 cdot 36 - 4 cdot 1 = 144 - 4 = 140

Resposta

O valor da integral de linha é 140.

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