Calcule
para
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo vetorial! A gente precisa calcular a divergência do produto vetorial entre dois vetores $ F $ e $ G $. Isso envolve entender o que são o produto vetorial e a divergência, que são conceitos de cálculo vetorial. Vamos usar as fórmulas dessas operações para chegar na resposta final.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar das definições:
- Produto Vetorial ($ F \times G $): Dá outro vetor que é perpendicular aos vetores $ F $ e $ G $.
- Divergência ($ \nabla \cdot $): Mede a quantidade de “fluxo” que sai de um ponto.
Para calcular $ \nabla \cdot (F \times G) $, vamos primeiro encontrar o produto vetorial $ F \times G $ e depois calcular a divergência desse resultado.
Passo 3
Vamos calcular o produto vetorial $ F \times G $. Sabemos que:
O produto vetorial é dado por:
Calculando o determinante:
Passo 4
Agora, vamos calcular a divergência de $ F \times G $. A divergência de um vetor $ \mathbf{V} = V_x,\hat{\mathbf{i}} + V_y,\hat{\mathbf{j}} + V_z,\hat{\mathbf{k}} $ é dada por:
Aplicando isso ao nosso produto vetorial:
Vamos derivar cada termo:
- $ \frac{\partial (-z - 4y^2)}{\partial x} = 0 $ (porque não há $ x $ nesse termo)
- $ \frac{\partial (2xz + 4xy)}{\partial y} = 4x $ (derivando em relação a $ y $)
- $ \frac{\partial (2xy - x)}{\partial z} = 0 $ (porque não há $ z $ nesse termo)
Somando tudo:
Resposta
A divergência de $ F \times G $ é $ 4x $.