Calcule nabla cdot(F times G) para
F(x, y, z)=2 x i+j+4 y k
G(x, y, z)=x i+y j-z k

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo vetorial! A gente precisa calcular a divergência do produto vetorial entre dois vetores $ F $ e $ G $. Isso envolve entender o que são o produto vetorial e a divergência, que são conceitos de cálculo vetorial. Vamos usar as fórmulas dessas operações para chegar na resposta final.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar das definições:
  • Produto Vetorial ($ F \times G $): Dá outro vetor que é perpendicular aos vetores $ F $ e $ G $.
  • Divergência ($ \nabla \cdot $): Mede a quantidade de “fluxo” que sai de um ponto.
Para calcular $ \nabla \cdot (F \times G) $, vamos primeiro encontrar o produto vetorial $ F \times G $ e depois calcular a divergência desse resultado.

Passo 3

Vamos calcular o produto vetorial $ F \times G $. Sabemos que:
F times G
F = 2x,i + j + 4y,k
O produto vetorial é dado por:
G = x,i + y,j - z,k
Calculando o determinante:
F times G = i & j & k 2x & 1 & 4y x & y & -z
F times G = i (1 cdot (-z) - 4y cdot y) - j (2x cdot (-z) - 4y cdot x) + k (2x cdot y - 1 cdot x)
F times G = i (-z - 4y^2) - j (-2xz - 4xy) + k (2xy - x)

Passo 4

Agora, vamos calcular a divergência de $ F \times G $. A divergência de um vetor $ \mathbf{V} = V_x,\hat{\mathbf{i}} + V_y,\hat{\mathbf{j}} + V_z,\hat{\mathbf{k}} $ é dada por:
F times G
Aplicando isso ao nosso produto vetorial:
V = Vx,i + Vy,j + Vz,k
Vamos derivar cada termo:
  • $ \frac{\partial (-z - 4y^2)}{\partial x} = 0 $ (porque não há $ x $ nesse termo)
  • $ \frac{\partial (2xz + 4xy)}{\partial y} = 4x $ (derivando em relação a $ y $)
  • $ \frac{\partial (2xy - x)}{\partial z} = 0 $ (porque não há $ z $ nesse termo)
Somando tudo:
nabla cdot V = partial Vxpartial x + partial Vypartial y + partial Vzpartial z

Resposta

A divergência de $ F \times G $ é $ 4x $.

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