Calcule, em cada caso, a
e esboce o domínio
.
g)
e
g)
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla de f(x,y)=x y cos(x²) sobre o domínio D definido por 0≤x≤1 e x²≤y≤1, usando integração dupla e o teorema de Fubini.
Passo 2
Para esboçar D basta traçar a parábola y=x² de x=0 a x=1 e a reta horizontal y=1. O domínio é a região fechada entre essas curvas para 0≤x≤1.
Passo 3
Pelo teorema de Fubini temos
$$
\iint_D x y \cos(x^2),dx,dy
\int_01\Bigl(\int_{x2}^1 x y \cos(x^2),dy\Bigr),dx
.
\int_{x2}1 y,dy
\Bigl[\frac{y2}{2}\Bigr]_{x2}^1
\frac{1-x^4}{2}
,
\int_{x2}1 x y \cos(x^2),dy
\frac{x(1-x4)}{2}\cos(x2)
.
\frac12\int_01\bigl(x\cos(x2)-x5\cos(x2)\bigr),dx
.
I_1=\int_0^1 x\cos(x^2),dx$$ usamos u=x², e para
escrevemos u=x², x5dx=\tfrac12u2du e aplicamos integração por partes.
Passo 4
Calculando cada uma:
Logo a integral total é