Calcule, em cada caso, a integral duplaD f(x, y) d x d y e esboce o domínio D.
g) f(x, y)=x y cos x^2 e D=(x, y) in R^2 ; 0 <= x <= 1, x^2 <= y <= 1

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla de f(x,y)=x y cos(x²) sobre o domínio D definido por 0≤x≤1 e x²≤y≤1, usando integração dupla e o teorema de Fubini.

Passo 2

Para esboçar D basta traçar a parábola y=x² de x=0 a x=1 e a reta horizontal y=1. O domínio é a região fechada entre essas curvas para 0≤x≤1.

Passo 3

Pelo teorema de Fubini temos
$$
\iint_D x y \cos(x^2),dx,dy

\int_01\Bigl(\int_{x2}^1 x y \cos(x^2),dy\Bigr),dx
. integral duplaD x y cos(x^2),dx,dy = integral0^1l(integralx^2^1 x y cos(x^2),dyr),dx
\int_{x2}1 y,dy

\Bigl[\frac{y2}{2}\Bigr]_{x2}^1

\frac{1-x^4}{2}
, integralx^2^1 y,dy = l[y^22r]x^2^1 = 1-x^42 ,
\int_{x2}1 x y \cos(x^2),dy

\frac{x(1-x4)}{2}\cos(x2)
. integralx^2^1 x y cos(x^2),dy = x(1-x^4)2cos(x^2)
\frac12\int_01\bigl(x\cos(x2)-x5\cos(x2)\bigr),dx
. 12integral0^1l(xcos(x^2)-x^5cos(x^2)r),dx I_1=\int_0^1 x\cos(x^2),dx$$ usamos u=x², e para
I1=integral0^1 xcos(x^2),dx
escrevemos u=x², x5dx=\tfrac12u2du e aplicamos integração por partes.

Passo 4

Calculando cada uma:
I1=12sin1, I2=cos1-12sin1
Logo a integral total é
12l(I1-I2r)=sin1-cos12

Resposta

sin1-cos12

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