Determine se a série (a) verifica as condiçōes (i) e (ii) para o teste das séries alternadas (11.30), e (b) converge ou diverge.
Passo 1
Então, o que a gente tem aqui é uma série alternada:
. A gente vai usar o Teste das Séries Alternadas para verificar se essa série satisfaz duas condições importantes e depois determinar se ela converge ou diverge. Pra isso, vamos precisar entender como esse teste funciona e aplicar passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série:
. Então, a série fica:
Passo 3
Agora, vamos identificar o termo positivo da série, que é
. Para aplicar o Teste das Séries Alternadas, precisamos verificar duas condições:
- Monotonicidade Decrescente:
para todo . - Convergência para Zero:
.
Passo 4
Vamos verificar a primeira condição. Observando
, conforme
aumenta,
diminui, mas o termo 1 permanece constante. Então,
não está diminuindo, na verdade, está se aproximando de 1.
Passo 5
Agora, a segunda condição:
. Já que
tende a zero quando
vai para o infinito, temos:
Então, o limite não é zero.
Resposta
A série não satisfaz as condições do Teste das Séries Alternadas e, portanto, diverge.