Determine se a série (a) verifica as condiçōes (i) e (ii) para o teste das séries alternadas (11.30), e (b) converge ou diverge.
sumn=1^infty(-1)^n e^2 n+1e^2 n

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é uma série alternada: . A gente vai usar o Teste das Séries Alternadas para verificar se essa série satisfaz duas condições importantes e depois determinar se ela converge ou diverge. Pra isso, vamos precisar entender como esse teste funciona e aplicar passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série: sumn=1^infty (-1)^n (1 + 1e^2n) . Então, a série fica:

Passo 3

Agora, vamos identificar o termo positivo da série, que é . Para aplicar o Teste das Séries Alternadas, precisamos verificar duas condições:
  1. Monotonicidade Decrescente: para todo .
  2. Convergência para Zero: .

Passo 4

Vamos verificar a primeira condição. Observando , conforme aumenta, diminui, mas o termo 1 permanece constante. Então, não está diminuindo, na verdade, está se aproximando de 1.

Passo 5

Agora, a segunda condição: limn to infty (1 + 1e^2n) = 1 + 0 = 1 . Já que tende a zero quando vai para o infinito, temos:
Então, o limite não é zero.

Resposta

A série não satisfaz as condições do Teste das Séries Alternadas e, portanto, diverge.

Exercícios relacionados