Calcule, em cada caso, a integral duplaD f(x, y) d x d y e esboce o domínio D.
c) f(x, y)=x e D é o triângulo de vértices (0,0),(1,1) e (2,0).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla de f(x,y)=x sobre o triângulo D com vértices (0,0), (1,1) e (2,0), além de esboçar esse domínio. Vamos usar conceitos de integral dupla e parametrização de regiões.

Passo 2

O triângulo D tem base no eixo x de x=0 a x=2 e ápice em (1,1). As arestas são: 1) y=0 (base), 2) segmento de (0,0) a (1,1), que é y=x para (1,1), e 3) segmento de (2,0) a y=2-x, que é para .

Passo 3

Para integrar, dividimos D em duas sub-regiões e escrevemos

Passo 4

Na primeira parte, ao integrar em y tratamos x como constante:

Passo 5

Na segunda parte temos:

Passo 6

Somando as duas parcelas da integral dupla, obtemos
$$\n\frac{1}{3}+frac{2}{3}=1.
$$

Passo 7

O esboço de D é um triângulo com vértices (0,0), (2,0) na base e ápice em (1,1).

Resposta

1

Exercícios relacionados