Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
sumn=1^infty(-1)^n+1 1ln (n+1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente determinar se a série sumn=1^infty(-1)^n+1 1ln (n+1) é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. A matéria envolvida aqui é sobre séries infinitas e tipos de convergência. Para resolver, vamos precisar entender sobre convergência absoluta, convergência condicional e o teste da série alternada.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a série é absolutamente convergente. Isso significa que a gente ignora o sinal alternado e analisa a série dos valores absolutos: sumn=1^infty 1ln (n+1). Queremos ver se essa série converge ou não.

Passo 3

Para analisar a série sumn=1^infty 1ln (n+1), podemos comparar com uma série conhecida. Sabemos que a série harmônica sumn=1^infty 1n é divergente. Observando que para grandes valores de n, ln(n+1) cresce mais devagar que n, então 1ln(n+1) é maior que 1n. Assim, se a série harmônica diverge e nossa série é maior que ela, então nossa série também diverge.

Passo 4

Como a série dos valores absolutos sumn=1^infty 1ln (n+1) diverge, concluímos que a série original não é absolutamente convergente. Agora, vamos verificar se ela é condicionalmente convergente usando o Teste da Série Alternada.

Passo 5

O Teste da Série Alternada diz que, se os termos 1ln(n+1) são positivos, decrescentes e tendem a zero quando n vai para o infinito, então a série alternada converge. Vamos verificar:
  1. Positivos: 1ln(n+1) é positivo para n >= 1.
  2. Decrescentes: À medida que n aumenta, ln(n+1) aumenta, então 1ln(n+1) diminui.
  3. Tendem a zero: limn to infty 1ln(n+1) = 0.
Como todos os critérios são atendidos, a série é condicionalmente convergente.

Resposta

A série sumn=1^infty(-1)^n+1 1ln (n+1) é condicionalmente convergente.

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