Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente determinar se a série
é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. A matéria envolvida aqui é sobre séries infinitas e tipos de convergência. Para resolver, vamos precisar entender sobre convergência absoluta, convergência condicional e o teste da série alternada.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a série é absolutamente convergente. Isso significa que a gente ignora o sinal alternado e analisa a série dos valores absolutos:
. Queremos ver se essa série converge ou não.
Passo 3
Para analisar a série
, podemos comparar com uma série conhecida. Sabemos que a série harmônica
é divergente. Observando que para grandes valores de
,
cresce mais devagar que
, então
é maior que
. Assim, se a série harmônica diverge e nossa série é maior que ela, então nossa série também diverge.
Passo 4
Como a série dos valores absolutos
diverge, concluímos que a série original não é absolutamente convergente. Agora, vamos verificar se ela é condicionalmente convergente usando o Teste da Série Alternada.
Passo 5
O Teste da Série Alternada diz que, se os termos
são positivos, decrescentes e tendem a zero quando
vai para o infinito, então a série alternada converge. Vamos verificar:
- Positivos:
é positivo para . - Decrescentes: À medida que
aumenta, aumenta, então diminui. - Tendem a zero:
.
Como todos os critérios são atendidos, a série é condicionalmente convergente.
Resposta
A série
é condicionalmente convergente.