Encontre o comprimento exato da curva.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o comprimento exato da curva definida por $ y = \frac{x^{5}}{6} + \frac{1}{10 x^{3}} $ no intervalo de $ x = 1 $ até $ x = 2 $. Para isso, vamos usar o conteúdo de cálculo, especificamente o que trata sobre comprimento de curvas. Precisaremos calcular a derivada da função e depois integrar uma expressão que envolve essa derivada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual fórmula usamos para encontrar o comprimento de uma curva $ y = f(x) $ entre dois pontos $ a $ e $ b $. A fórmula é:
Essa fórmula nos dá o comprimento da curva adicionando uma infinitesimal de comprimento em cada ponto entre $ a $ e $ b $.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a derivada de $ y $ em relação a $ x $. Nossa função é:
Vamos derivar termo a termo:
- A derivada de $ \frac{x^{5}}{6} $ em relação a $ x $ é $ \frac{5x^{4}}{6} $.
- A derivada de $ \frac{1}{10 x^{3}} $ é $ \frac{-3}{10 x^{4}} $.
Portanto,
Passo 4
Agora que temos $ \frac{dy}{dx} $, vamos calcular $ \left( \frac{dy}{dx} \right)^{2} $:
Para simplificar a expressão, podemos expandir o quadrado:
Calculando cada termo:
- $ \left( \frac{5x^{4}}{6} \right)^{2} = \frac{25x^{8}}{36} $
- $ -2 \cdot \frac{5x^{4}}{6} \cdot \frac{3}{10 x^{4}} = -\frac{30}{60} = -\frac{1}{2} $
- $ \left( \frac{3}{10 x^{4}} \right)^{2} = \frac{9}{100 x^{8}} $
Então,
Passo 5
Agora, vamos somar 1 a essa expressão para usar na fórmula do comprimento da curva:
Simplificando:
Portanto,
Passo 6
Agora, vamos montar a integral para encontrar o comprimento da curva:
Para facilitar a integração, vamos observar se conseguimos simplificar a expressão dentro da raiz quadrada. Observando os coeficientes, percebemos que podemos fatorar fatores comuns:
Isso porque:
Portanto,
Como $ x $ está entre 1 e 2 e todas as parcelas são positivas, podemos remover o valor absoluto:
Passo 7
Agora, vamos integrar termo a termo:
Calculando cada integral:
- Para $ \int \frac{5x^{4}}{6} , dx $:
- Para $ \int \frac{3}{10 x^{4}} , dx $:
Passo 8
Agora, avaliamos as integrais entre 1 e 2:
Calculando cada termo:
-
$ \left[ \frac{x^{5}}{6} \right]_{1}^{2} = \frac{2^{5}}{6} - \frac{1^{5}}{6} = \frac{32}{6} - \frac{1}{6} = \frac{31}{6} $
-
$ -\left[ \frac{1}{10 x^{3}} \right]_{1}^{2} = -\left( \frac{1}{10 \cdot 8} - \frac{1}{10 \cdot 1} \right) = -\left( \frac{1}{80} - \frac{1}{10} \right) = -\left( -\frac{7}{80} \right) = \frac{7}{80} $
Passo 9
Somando os resultados das integrais:
Para somar essas frações, vamos achar um denominador comum, que é 240:
Portanto,
Passo 10
Simplificando a fração:
Essa é a forma exata do comprimento da curva. Se quiser, podemos simplificar dividindo numerador e denominador pelo 1, já que não há um divisor comum além de 1.
Resposta
O comprimento exato da curva é $ \frac{1261}{240} $ unidades de comprimento.