Encontre o comprimento exato da curva.
y=x^56+110 x^3, 1 <= x <= 2, y >= 0;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o comprimento exato da curva definida por $ y = \frac{x^{5}}{6} + \frac{1}{10 x^{3}} $ no intervalo de $ x = 1 $ até $ x = 2 $. Para isso, vamos usar o conteúdo de cálculo, especificamente o que trata sobre comprimento de curvas. Precisaremos calcular a derivada da função e depois integrar uma expressão que envolve essa derivada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual fórmula usamos para encontrar o comprimento de uma curva $ y = f(x) $ entre dois pontos $ a $ e $ b $. A fórmula é:
y = f(x)
Essa fórmula nos dá o comprimento da curva adicionando uma infinitesimal de comprimento em cada ponto entre $ a $ e $ b $.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada de $ y $ em relação a $ x $. Nossa função é:
y
Vamos derivar termo a termo:
  • A derivada de $ \frac{x^{5}}{6} $ em relação a $ x $ é $ \frac{5x^{4}}{6} $.
  • A derivada de $ \frac{1}{10 x^{3}} $ é $ \frac{-3}{10 x^{4}} $.
Portanto,
x

Passo 4

Agora que temos $ \frac{dy}{dx} $, vamos calcular $ \left( \frac{dy}{dx} \right)^{2} $:
dydx
Para simplificar a expressão, podemos expandir o quadrado:
( dydx )^2
Calculando cada termo:
  • $ \left( \frac{5x^{4}}{6} \right)^{2} = \frac{25x^{8}}{36} $
  • $ -2 \cdot \frac{5x^{4}}{6} \cdot \frac{3}{10 x^{4}} = -\frac{30}{60} = -\frac{1}{2} $
  • $ \left( \frac{3}{10 x^{4}} \right)^{2} = \frac{9}{100 x^{8}} $
Então,
( dydx )^2 = ( 5x^46 - 310 x^4 )^2

Passo 5

Agora, vamos somar 1 a essa expressão para usar na fórmula do comprimento da curva:
1 + ( dydx )^2 = 1 + 25x^836 - 12 + 9100 x^8
Simplificando:
1 - 12 = 12
Portanto,
1 + ( dydx )^2 = 25x^836 + 12 + 9100 x^8

Passo 6

Agora, vamos montar a integral para encontrar o comprimento da curva:
L = integral1^2 raiz25x^836 + 12 + 9100 x^8 , dx
Para facilitar a integração, vamos observar se conseguimos simplificar a expressão dentro da raiz quadrada. Observando os coeficientes, percebemos que podemos fatorar fatores comuns:
25x^836 + 12 + 9100 x^8 = ( 5x^46 + 310 x^4 )^2
Isso porque:
( 5x^46 + 310 x^4 )^2 = 25x^836 + 2 cdot 5x^46 cdot 310 x^4 + 9100 x^8 = 25x^836 + 12 + 9100 x^8
Portanto,
L = integral1^2 raiz( 5x^46 + 310 x^4 )^2 , dx = integral1^2 | 5x^46 + 310 x^4 | , dx
Como $ x $ está entre 1 e 2 e todas as parcelas são positivas, podemos remover o valor absoluto:
x

Passo 7

Agora, vamos integrar termo a termo:
L = integral1^2 5x^46 , dx + integral1^2 310 x^4 , dx
Calculando cada integral:
  1. Para $ \int \frac{5x^{4}}{6} , dx $:
integral 5x^46 , dx
  1. Para $ \int \frac{3}{10 x^{4}} , dx $:
56 cdot integral x^4 , dx = 56 cdot ( x^55 ) = x^56

Passo 8

Agora, avaliamos as integrais entre 1 e 2:
L = [ x^56 ]1^2 - [ 110 x^3 ]1^2
Calculando cada termo:
  1. $ \left[ \frac{x^{5}}{6} \right]_{1}^{2} = \frac{2^{5}}{6} - \frac{1^{5}}{6} = \frac{32}{6} - \frac{1}{6} = \frac{31}{6} $
  2. $ -\left[ \frac{1}{10 x^{3}} \right]_{1}^{2} = -\left( \frac{1}{10 \cdot 8} - \frac{1}{10 \cdot 1} \right) = -\left( \frac{1}{80} - \frac{1}{10} \right) = -\left( -\frac{7}{80} \right) = \frac{7}{80} $

Passo 9

Somando os resultados das integrais:
L = 316 + 780
Para somar essas frações, vamos achar um denominador comum, que é 240:
316 = 31 times 406 times 40 = 1240240
780 = 7 times 380 times 3 = 21240
Portanto,
L = 1240240 + 21240 = 1261240

Passo 10

Simplificando a fração:
1261240
Essa é a forma exata do comprimento da curva. Se quiser, podemos simplificar dividindo numerador e denominador pelo 1, já que não há um divisor comum além de 1.

Resposta

O comprimento exato da curva é $ \frac{1261}{240} $ unidades de comprimento.

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