Utilizando a técnica de cascas cilindricas, calcule o volume dos sólidos obtidos pela rotação ao longo do Eixo
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular o volume do sólido que resulta ao girar a área delimitada pela parábola $ y = x^{2} $, a reta vertical $ x = 1 $ e o eixo $ y = 0 $ (que é o eixo x) ao redor do eixo x. Para resolver isso, vamos usar a técnica das cascas cilíndricas, que envolve um pouco de cálculo e geometria.
Passo 2
Primeiro, é importante visualizar a região que estamos girando. A parábola $ y = x^{2} $ abre pra cima e cruza o eixo x no ponto (0,0). A reta $ x = 1 $ é uma linha vertical que corta a parábola no ponto (1,1). A linha $ y = 0 $ é simplesmente o eixo x. Então, a área que vamos girar está entre $ x = 0 $ e $ x = 1 $, debaixo da parábola até o eixo x.
Passo 3
Agora, vamos lembrar como funciona a técnica das cascas cilíndricas. Quando giramos uma região em torno do eixo x, usamos a fórmula:
Aqui, o $ y $ representa o raio da casca cilíndrica (a distância do eixo de rotação) e a altura é a medida horizontal da região em cada ponto $ y $.
Passo 4
Precisamos expressar $ x $ em termos de $ y $ para usar na fórmula. A equação da parábola é $ y = x^{2} $, então resolvendo para $ x $, temos:
A altura da casca será a distância entre $ x = 1 $ e $ x = \sqrt{y} $:
Passo 5
Agora, definimos os limites de integração. A parábola vai de $ y = 0 $ até $ y = 1 $ (quando $ x = 1 $).
Passo 6
Substituindo tudo na fórmula da casca cilíndrica, temos:
Passo 7
Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, distribuímos o $ y $:
Agora, integramos cada termo:
Passo 8
Aplicando os limites de integração:
Passo 9
Calculando a diferença dentro dos parênteses:
Passo 10
Finalmente, multiplicamos pelos $ 2\pi $:
Resposta
O volume do sólido obtido é $ \frac{\pi}{5} $ unidades cúbicas.