Utilizando a técnica de cascas cilindricas, calcule o volume dos sólidos obtidos pela rotação ao longo do Eixo x.
y=x^2, x=1 e y=0;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular o volume do sólido que resulta ao girar a área delimitada pela parábola $ y = x^{2} $, a reta vertical $ x = 1 $ e o eixo $ y = 0 $ (que é o eixo x) ao redor do eixo x. Para resolver isso, vamos usar a técnica das cascas cilíndricas, que envolve um pouco de cálculo e geometria.

Passo 2

Primeiro, é importante visualizar a região que estamos girando. A parábola $ y = x^{2} $ abre pra cima e cruza o eixo x no ponto (0,0). A reta $ x = 1 $ é uma linha vertical que corta a parábola no ponto (1,1). A linha $ y = 0 $ é simplesmente o eixo x. Então, a área que vamos girar está entre $ x = 0 $ e $ x = 1 $, debaixo da parábola até o eixo x.

Passo 3

Agora, vamos lembrar como funciona a técnica das cascas cilíndricas. Quando giramos uma região em torno do eixo x, usamos a fórmula:
V = 2pi integrala^b y cdot a
Aqui, o $ y $ representa o raio da casca cilíndrica (a distância do eixo de rotação) e a altura é a medida horizontal da região em cada ponto $ y $.

Passo 4

Precisamos expressar $ x $ em termos de $ y $ para usar na fórmula. A equação da parábola é $ y = x^{2} $, então resolvendo para $ x $, temos:
x
A altura da casca será a distância entre $ x = 1 $ e $ x = \sqrt{y} $:
y

Passo 5

Agora, definimos os limites de integração. A parábola vai de $ y = 0 $ até $ y = 1 $ (quando $ x = 1 $).

Passo 6

Substituindo tudo na fórmula da casca cilíndrica, temos:
V = 2pi integral0^1 y (1 - raizy) , dy

Passo 7

Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, distribuímos o $ y $:
y
Agora, integramos cada termo:
V = 2pi integral0^1 (y - y^3/2) , dy
integral y , dy = y^22

Passo 8

Aplicando os limites de integração:
V = 2pi [ ( 1^22 - 25 1^5/2 ) - ( 0^22 - 25 0^5/2 ) ]
V = 2pi ( 12 - 25 )

Passo 9

Calculando a diferença dentro dos parênteses:
12 - 25 = 510 - 410 = 110

Passo 10

Finalmente, multiplicamos pelos $ 2\pi $:
2pi

Resposta

O volume do sólido obtido é $ \frac{\pi}{5} $ unidades cúbicas.

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