Calcule cada derivada parcial tratando, com exceção de uma, as variáveis independentes como constantes e aplicando as regras de diferenciação.
f_{1}(x, y) onde f(x, y)=\int_{y}^{x} e^{-t^{3}} d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada parcial em relação à primeira variável, isto é f_{1}(x,y)=\dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y), da função
f(x,y)=\int_{y}^{x} e^{-t^{3}}\,dt.
Informações dadas:
  • A função é definida por uma integral com limite inferior igual a y e limite superior igual a x.
  • Ao calcular f_{1}(x,y) tratamos y como constante e diferenciamos em relação a x.

Passo 2

Conceito-chave que vamos usar: o Teorema Fundamental do Cálculo (segunda parte) combinado com a regra da cadeia para limites variáveis.
Explicação didática do que isso diz:
  • Se F é uma primitiva de uma função contínua g, isto é F'(t)=g(t), então, para uma integral com limite superior variável,
\frac{d}{dx}\int_{a}^{x} g(t)\,dt = g(x).
  • Mais geralmente, se os limites dependem de x, isto é \int_{u(x)}^{v(x)} g(t)\,dt, então vale a regra (versão da regra de Leibniz):
\frac{d}{dx}\int_{u(x)}^{v(x)} g(t)\,dt = g\big(v(x)\big)\,v'(x) - g\big(u(x)\big)\,u'(x).
Aqui v'(x) e u'(x) são as derivadas dos limites em relação a x. A ideia é: a mudança do valor da integral quando x varia vem da mudança do intervalo de integração; a contribuição da borda superior é positiva e da borda inferior é negativa.

Passo 3

Aplicando isso ao nosso caso:
  • A integranda é g(t)=e^{-t^{3}}, que é contínua para todo t.
  • O limite superior é v(x)=x, logo v'(x)=1.
  • O limite inferior é u(x)=y, mas aqui y é tratado como constante em relação a x, então u'(x)=0.
Usando a fórmula da regra de Leibniz:
\frac{\partial}{\partial x}\int_{y}^{x} e^{-t^{3}}\,dt = e^{-x^{3}}\cdot 1 \;-\; e^{-y^{3}}\cdot 0.

Passo 4

Interpretação e observação prática:
  • A parcela envolvendo o limite inferior desaparece porque y é constante quando derivamos em relação a x.
  • Não foi necessário conhecer uma primitiva explícita de e^{-t^{3}}; bastou avaliar a integranda no limite superior.
  • Um exemplo análogo e simples: \dfrac{d}{dx}\int_{2}^{x}\sin t\,dt = \sin x. Mesma ideia aqui, só que com e^{-t^{3}}.

Resposta

f_{1}(x,y)=e^{-x^{3}}

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