Calcule cada derivada parcial tratando, com exceção de uma, as variáveis independentes como constantes e aplicando as regras de diferenciação.
onde
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada parcial em relação à primeira variável, isto é
, da função
Informações dadas:
- A função é definida por uma integral com limite inferior igual a
e limite superior igual a . - Ao calcular
tratamos como constante e diferenciamos em relação a .
Passo 2
Conceito-chave que vamos usar: o Teorema Fundamental do Cálculo (segunda parte) combinado com a regra da cadeia para limites variáveis.
Explicação didática do que isso diz:
- Se
é uma primitiva de uma função contínua , isto é , então, para uma integral com limite superior variável,
- Mais geralmente, se os limites dependem de
, isto é , então vale a regra (versão da regra de Leibniz):
Aqui
e
são as derivadas dos limites em relação a
. A ideia é: a mudança do valor da integral quando
varia vem da mudança do intervalo de integração; a contribuição da borda superior é positiva e da borda inferior é negativa.
Passo 3
Aplicando isso ao nosso caso:
- A integranda é
, que é contínua para todo . - O limite superior é
, logo . - O limite inferior é
, mas aqui é tratado como constante em relação a , então .
Usando a fórmula da regra de Leibniz:
Passo 4
Interpretação e observação prática:
- A parcela envolvendo o limite inferior desaparece porque
é constante quando derivamos em relação a . - Não foi necessário conhecer uma primitiva explícita de
; bastou avaliar a integranda no limite superior. - Um exemplo análogo e simples:
. Mesma ideia aqui, só que com .