Calcule cada derivada parcial tratando, com exceção de uma, as variáveis independentes como constantes e aplicando as regras de diferenciação.
onde
Passo 1
O enunciado pede a derivada parcial de
em relação a
, considerando as variáveis independentes (exceto uma) como constantes. As informações dadas são:
- A função
é
- Quer-se
, isto é, a derivada parcial de em relação a , tratando como constante. - Deve-se ter atenção ao domínio: a expressão só é válida quando o denominador não é zero, isto é, quando
.
Passo 2
Escolhemos usar a regra do quociente para derivadas porque
é uma razão de duas funções de
(com
tratado como constante). A regra do quociente, para
, dá:
Aqui
e
são funções de
e
; ao derivar parcial em relação a
mantemos
constante.
Passo 3
Identificamos as partes do quociente:
Agora calculamos as derivadas parciais de
e
em relação a
, lembrando que
é constante:
- A derivada parcial de
em relação a é . - A derivada parcial de
em relação a é (pois é constante).
Portanto
pois a derivada de
é
.
Passo 4
Aplicando a regra do quociente com os valores encontrados:
Passo 5
Simplificamos o numerador passo a passo. Factorizando
no numerador:
Agora somamos as expressões dentro dos parênteses:
Logo o numerador fica
Passo 6
Substituindo no quociente e escrevendo o resultado final:
válido quando
.