Calcule cada derivada parcial tratando, com exceção de uma, as variáveis independentes como constantes e aplicando as regras de diferenciação.
\frac{\partial w}{\partial x} onde w=\frac{x^{2}+y^{2}}{y^{2}-x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede a derivada parcial de w em relação a x, considerando as variáveis independentes (exceto uma) como constantes. As informações dadas são:
  • A função w é
w=\frac{x^{2}+y^{2}}{y^{2}-x^{2}}.
  • Quer-se \dfrac{\partial w}{\partial x}, isto é, a derivada parcial de w em relação a x, tratando y como constante.
  • Deve-se ter atenção ao domínio: a expressão só é válida quando o denominador não é zero, isto é, quando y^{2}-x^{2}\neq0.

Passo 2

Escolhemos usar a regra do quociente para derivadas porque w é uma razão de duas funções de x (com y tratado como constante). A regra do quociente, para w=\dfrac{u}{v}, dá:
\frac{\partial w}{\partial x}=\frac{v\,\dfrac{\partial u}{\partial x}-u\,\dfrac{\partial v}{\partial x}}{v^{2}}.
Aqui u e v são funções de x e y; ao derivar parcial em relação a x mantemos y constante.

Passo 3

Identificamos as partes do quociente:
u(x,y)=x^{2}+y^{2},\qquad v(x,y)=y^{2}-x^{2}.
Agora calculamos as derivadas parciais de u e v em relação a x, lembrando que y é constante:
  • A derivada parcial de x^{2} em relação a x é 2x.
  • A derivada parcial de y^{2} em relação a x é 0 (pois y é constante).
    Portanto
\frac{\partial u}{\partial x}=2x,\qquad \frac{\partial v}{\partial x}=-2x,
pois a derivada de -x^{2} é -2x.

Passo 4

Aplicando a regra do quociente com os valores encontrados:
\frac{\partial w}{\partial x} = \frac{(y^{2}-x^{2})\cdot(2x) - (x^{2}+y^{2})\cdot(-2x)}{(y^{2}-x^{2})^{2}}.

Passo 5

Simplificamos o numerador passo a passo. Factorizando 2x no numerador:
(y^{2}-x^{2})\cdot(2x) - (x^{2}+y^{2})\cdot(-2x) = 2x\bigl(y^{2}-x^{2}\bigr) + 2x\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr) = 2x\bigl((y^{2}-x^{2})+(x^{2}+y^{2})\bigr).
Agora somamos as expressões dentro dos parênteses:
(y^{2}-x^{2})+(x^{2}+y^{2}) = 2y^{2}.
Logo o numerador fica
2x\cdot 2y^{2} = 4x y^{2}.

Passo 6

Substituindo no quociente e escrevendo o resultado final:
\frac{\partial w}{\partial x}=\frac{4x y^{2}}{(y^{2}-x^{2})^{2}},
válido quando \,y^{2}-x^{2}\neq0.

Resposta

\displaystyle \frac{4x y^{2}}{(y^{2}-x^{2})^{2}}

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