Calcule cada derivada parcial tratando, com exceção de uma, as variáveis independentes como constantes e aplicando as regras de diferenciação.
\frac{\partial}{\partial x}\left(x^{2} \sin (y)\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\frac{\partial}{\partial x}\!\left(x^{2}\sin(y)\right),
ou seja, a derivada parcial dessa função em relação a x, tratando as outras variáveis (aqui, y) como constantes. Informação dada: a função é f(x,y)=x^{2}\sin(y) e a diferenciação é feita em relação a x.

Passo 2

O que significa derivada parcial em relação a x? Por definição,
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h},
ou, de forma prática, é a taxa de variação de f quando x varia e y fica fixo. Então, ao derivar em relação a x, qualquer expressão que dependa só de y comporta-se como constante.

Passo 3

Observe a estrutura da função:
f(x,y)=x^{2}\sin(y).
Como y é tratado como constante, \sin(y) é apenas um número (uma constante) no processo de diferenciação em relação a x. Podemos escrever
f(x,y)=\big(\sin(y)\big)\cdot x^{2},
ou seja, um fator constante multiplicando x^{2}.

Passo 4

Lembrete da regra que vamos usar: a regra do múltiplo constante e a regra da potência.
  • Regra do múltiplo constante: se c é constante, \dfrac{d}{dx}\big(c\cdot g(x)\big)=c\cdot g'(x).
  • Regra da potência (caso simples): \dfrac{d}{dx}\big(x^{n}\big)=n x^{n-1}. Aqui, com n=2, tem-se \dfrac{d}{dx}\big(x^{2}\big)=2x.

Passo 5

Aplicando essas regras à nossa função: trate \sin(y) como constante c=\sin(y) e derive x^{2}:
\frac{\partial}{\partial x}\!\left(x^{2}\sin(y)\right) =\sin(y)\cdot\frac{d}{dx}\big(x^{2}\big) =\sin(y)\cdot(2x).

Passo 6

(Verificação alternativa com a regra do produto) Se preferir ver por produto, escreva f(x,y)=u(x)\,v(y) com u(x)=x^{2} e v(y)=\sin(y). A regra do produto diz
\frac{\partial}{\partial x}\big(u(x)v(y)\big)=u'(x)v(y)+u(x)\frac{\partial}{\partial x}v(y).
Aqui \frac{\partial}{\partial x}v(y)=0 porque v(y) não depende de x. Logo
u'(x)v(y)+u(x)\cdot 0 = (2x)\sin(y),
mesma resposta confirmada.

Resposta

\;2x\sin(y)

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