Calcule cada derivada parcial tratando, com exceção de uma, as variáveis independentes como constantes e aplicando as regras de diferenciação.
Passo 1
O enunciado pede para calcular
ou seja, a derivada parcial dessa função em relação a
, tratando as outras variáveis (aqui,
) como constantes. Informação dada: a função é
e a diferenciação é feita em relação a
.
Passo 2
O que significa derivada parcial em relação a
? Por definição,
ou, de forma prática, é a taxa de variação de
quando
varia e
fica fixo. Então, ao derivar em relação a
, qualquer expressão que dependa só de
comporta-se como constante.
Passo 3
Observe a estrutura da função:
Como
é tratado como constante,
é apenas um número (uma constante) no processo de diferenciação em relação a
. Podemos escrever
ou seja, um fator constante multiplicando
.
Passo 4
Lembrete da regra que vamos usar: a regra do múltiplo constante e a regra da potência.
- Regra do múltiplo constante: se
é constante, . - Regra da potência (caso simples):
. Aqui, com , tem-se .
Passo 5
Aplicando essas regras à nossa função: trate
como constante
e derive
:
Passo 6
(Verificação alternativa com a regra do produto) Se preferir ver por produto, escreva
com
e
. A regra do produto diz
Aqui
porque
não depende de
. Logo
mesma resposta confirmada.