Calcule cada derivada parcial tratando, com exceção de uma, as variáveis independentes como constantes e aplicando as regras de diferenciação.
onde
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada parcial
da função
Informações fornecidas:
- A função depende de duas variáveis independentes
e . - A derivada parcial pedida é em relação a
, isto é, . - Ao derivar em relação a
, a outra variável deve ser tratada como constante (ou seja, será um fator constante quando derivamos em ).
Passo 2
Recordando a definição operacional de derivada parcial: a derivada parcial de
em relação a
é a derivada da função obtida ao manter
fixo. Em notação:
Na prática, para funções elementares costuma-se aplicar as regras usuais de diferenciação (derivada de seno, produto, cadeia, etc.), considerando que
é constante durante a diferenciação.
Passo 3
Escrevendo
como produto:
Aqui
depende só de
, logo é uma constante quando derivamos em relação a
. Portanto podemos usar a regra "constante multiplicando função de
":
A derivada de
em relação a
é
. Assim:
Passo 4
Como verificação rápida: se preferir usar a regra do produto completa, tem-se
mas
quando a derivada é em relação a
(pois
é constante em
), e isso retorna o mesmo resultado
Um exemplo numérico para fixar:
.