Calcule cada derivada parcial tratando, com exceção de uma, as variáveis independentes como constantes e aplicando as regras de diferenciação.
h_{x}(x, y) onde h(x, y)=\sin (x) \cos (7 y)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada parcial h_{x}(x,y) da função
h(x,y)=\sin(x)\cos(7y).
Informações fornecidas:
  • A função depende de duas variáveis independentes x e y.
  • A derivada parcial pedida é em relação a x, isto é, \,h_x(x,y)\,.
  • Ao derivar em relação a x, a outra variável y deve ser tratada como constante (ou seja, \cos(7y) será um fator constante quando derivamos em x).

Passo 2

Recordando a definição operacional de derivada parcial: a derivada parcial de h em relação a x é a derivada da função obtida ao manter y fixo. Em notação:
h_x(x,y)=\lim_{t\to0}\frac{h(x+t,y)-h(x,y)}{t}.
Na prática, para funções elementares costuma-se aplicar as regras usuais de diferenciação (derivada de seno, produto, cadeia, etc.), considerando que y é constante durante a diferenciação.

Passo 3

Escrevendo h como produto:
h(x,y)=\sin(x)\cdot \cos(7y).
Aqui \cos(7y) depende só de y, logo é uma constante quando derivamos em relação a x. Portanto podemos usar a regra "constante multiplicando função de x":
\frac{\partial}{\partial x}\big(\sin(x)\cdot \cos(7y)\big) = \bigg(\frac{d}{dx}\sin(x)\bigg)\cdot \cos(7y).
A derivada de \sin(x) em relação a x é \cos(x). Assim:
h_x(x,y)=\cos(x)\cdot \cos(7y).

Passo 4

Como verificação rápida: se preferir usar a regra do produto completa, tem-se
h_x=(\sin x)'\cos(7y)+\sin x\big(\cos(7y)\big)',
mas \big(\cos(7y)\big)'=0 quando a derivada é em relação a x (pois \cos(7y) é constante em x), e isso retorna o mesmo resultado
h_x(x,y)=\cos(x)\cos(7y).
Um exemplo numérico para fixar: \,h_x\big(\tfrac{\pi}{2},y\big)=\cos\big(\tfrac{\pi}{2}\big)\cos(7y)=0\cdot\cos(7y)=0.

Resposta

\;h_x(x,y)=\cos(x)\cos(7y)

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