Calcule cada expressão.
e) \left(\frac{4}{9}\right)^{-\frac{1}{2}}

Passo 1

O que o exercício pede: calcular a expressão \left(\frac{4}{9}\right)^{-\frac{1}{2}}. Informações dadas: a base é \frac{4}{9} e o expoente é -\tfrac{1}{2}. O objetivo é simplificar essa expressão para um número racional simples.

Passo 2

Regra do expoente negativo: para qualquer número positivo x e expoente n,
x^{-n}=\frac{1}{x^{n}}.
Isto significa que um expoente negativo indica o recíproco (inverso) da potência com expoente positivo. Aplicando ao nosso caso:
\left(\frac{4}{9}\right)^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{\left(\frac{4}{9}\right)^{\frac{1}{2}}}.

Passo 3

Interpretação do expoente fracionário \tfrac{1}{2}: para x\ge 0,
x^{\frac{1}{2}}=\sqrt{x},
ou seja, elevar a 1/2 é tirar a raiz quadrada (sempre a raiz principal, positiva). Assim,
\left(\frac{4}{9}\right)^{\frac{1}{2}}=\sqrt{\frac{4}{9}}.
Portanto a expressão virou
\left(\frac{4}{9}\right)^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{\frac{4}{9}}}.

Passo 4

Propriedade da raiz de uma fração: para numerador e denominador não negativos,
\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}.
Aqui a=4 e b=9, ambos positivos. Então
\sqrt{\frac{4}{9}}=\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{9}}=\frac{2}{3}.

Passo 5

Agora calculamos o recíproco encontrado:
\frac{1}{\sqrt{\frac{4}{9}}=\frac{2}{3}}=\frac{1}{\tfrac{2}{3}}=\frac{3}{2}.
Outra forma rápida (checagem): usando regras de expoentes \left(\frac{a}{b}\right)^{-1/2}=\left(\frac{b}{a}\right)^{1/2} e \sqrt{\frac{9}{4}}=\frac{3}{2}, dá o mesmo resultado.

Resposta

\frac{3}{2}

Exercícios relacionados