Calcule cada expressão, usando as funções f, g e h definidas por:
f(x, y)=5 x^{2}+7 x y ; g(x, y)=\sqrt{x y} \text { e } h(x, y, z)=\frac{2 x y+z}{x^{2}+y^{2}-z^{2}}
h(\operatorname{sen} t, \cos t, 0)

Passo 1

O enunciado dá a função
h(x,y,z)=\frac{2xy+z}{x^{2}+y^{2}-z^{2}}
e pede que apliquemos essa função aos argumentos x=\operatorname{sen} t, y=\cos t e z=0. Ou seja, calcular
h(\operatorname{sen} t,\cos t,0).

Passo 2

Primeiro passo algébrico: substituir x=\operatorname{sen} t, y=\cos t e z=0 na expressão de h. Fazendo a substituição obtemos
h(\operatorname{sen} t,\cos t,0)=\frac{2\cdot(\operatorname{sen} t)\cdot(\cos t)+0}{(\operatorname{sen} t)^{2}+(\cos t)^{2}-0^{2}}.

Passo 3

Simplificar a expressão acima removendo o 0 onde aparece. No numerador sobra apenas 2\operatorname{sen} t\cos t e no denominador sobra (\operatorname{sen} t)^{2}+(\cos t)^{2}. Assim
h(\operatorname{sen} t,\cos t,0)=\frac{2\operatorname{sen} t\cos t}{(\operatorname{sen} t)^{2}+(\cos t)^{2}}.

Passo 4

Usar a identidade trigonométrica fundamental. Para todo t vale a identidade de Pitágoras para seno e cosseno:
(\operatorname{sen} t)^{2}+(\cos t)^{2}=1.
Essa identidade vem da definição de seno e cosseno no círculo trigonométrico: as coordenadas de um ponto na circunferência unitária satisfazem x^{2}+y^{2}=1. Aplicando essa identidade ao denominador, ele fica igual a 1.

Passo 5

Substituindo o denominador por 1 na expressão do Passo 3 obtemos
h(\operatorname{sen} t,\cos t,0)=2\operatorname{sen} t\cos t.

Passo 6

Reconhecer a identidade de ângulo duplo. Existe a identidade trigonométrica
2\operatorname{sen} t\cos t=\operatorname{sen}2t.
Essa identidade é muito útil: ela transforma o produto de seno e cosseno num seno de ângulo duplo. Aplicando-a ao resultado do Passo 5 temos a forma mais compacta da expressão.

Passo 7

Portanto, concluímos que
h(\operatorname{sen} t,\cos t,0)=\operatorname{sen}2t.

Resposta

\operatorname{sen}2t

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