Calcule cada expressão, usando as funções f, g e h definidas por:
f(x, y)=5 x^{2}+7 x y ; g(x, y)=\sqrt{x y} \text { e } h(x, y, z)=\frac{2 x y+z}{x^{2}+y^{2}-z^{2}}
\frac{f(x, y)}{[g(x, y)]^{2}}

Passo 1

O enunciado dá três funções e pede para calcular a expressão \dfrac{f(x,y)}{[g(x,y)]^{2}}. As funções fornecidas são:
f(x,y)=5x^{2}+7xy,\qquad g(x,y)=\sqrt{xy},\qquad h(x,y,z)=\frac{2xy+z}{x^{2}+y^{2}-z^{2}}.
O que precisamos retornar é o valor simplificado de
\frac{f(x,y)}{[g(x,y)]^{2}}.

Passo 2

Primeiro vamos entender [g(x,y)]^{2}. Como g(x,y)=\sqrt{xy}, ao elevar ao quadrado obtemos, sempre que a raiz quadrada for definida:
[g(x,y)]^{2}=(\sqrt{xy})^{2}=xy.
Aqui é importante notar: para \sqrt{xy} ser um número real precisamos de xy\ge 0. Além disso, como esse valor ficará no denominador, não podemos ter divisão por zero; portanto, para a expressão original fazermos sentido real devemos ter
xy>0.

Passo 3

Substituindo [g(x,y)]^{2}=xy na expressão pedida, obtemos
\frac{f(x,y)}{[g(x,y)]^{2}}=\frac{5x^{2}+7xy}{xy}.

Passo 4

Agora simplificamos a fração usando álgebra básica. Podemos fatorar x no numerador:
5x^{2}+7xy = x(5x+7y).
Assim
\frac{5x^{2}+7xy}{xy}=\frac{x(5x+7y)}{xy}.

Passo 5

Cancellamos o fator comum x no numerador e no denominador (isso é permitido porque, pelas condições de domínio, x\neq0 já que xy>0):
\frac{x(5x+7y)}{xy}=\frac{5x+7y}{y}.
Podemos dividir cada termo por y para escrever de forma mais clara:
\frac{5x+7y}{y}=\frac{5x}{y}+7.

Passo 6

Resumo do raciocínio e da condição de validade: a expressão simplificada é \dfrac{5x}{y}+7, válida para x,y reais tais que xy>0 (isto garante \sqrt{xy} real e não nulo, e permite as cancelamentos realizados).

Resposta

\dfrac{5x}{y}+7 (válido para xy>0)

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