Desenhe o mapa de contorno do gráfico de z=f(x, y) mostrando as linhas de contorno correspondentes aos valores de z dados.
f(x, y)=\sqrt{9-x^{2}-y^{2}} ; z=0, z=1, z=2, z=3

Passo 1

O enunciado nos dá a função f(x,y)=\sqrt{9-x^{2}-y^{2}} e pede para desenhar o mapa de contorno (linhas de nível) correspondentes aos valores \,z=0,\;z=1,\;z=2,\;z=3. Informações relevantes fornecidas:
  • A função é f(x,y)=\sqrt{9-x^{2}-y^{2}}.
  • Os níveis pedidos são \,z=0,\;z=1,\;z=2,\;z=3.
  • Deve-se considerar o domínio da função, que exige que o argumento da raiz seja não negativo.

Passo 2

O que é uma linha de contorno (linha de nível) e como achar uma: uma linha de contorno correspondente a um valor fixo \,z_0 é o conjunto de pontos (x,y) no plano tal que
f(x,y)=z_0.
Ou seja, para cada nível \,z_0 resolve-se a equação acima e descreve-se o conjunto resultante no plano xy. Essas curvas mostram onde a superfície tem altura igual a \,z_0.

Passo 3

Aplicando o método à nossa função: escrevemos a equação do nível \,z (aqui z é um valor fixo entre os pedidos):
\sqrt{9-x^{2}-y^{2}} = z.
Para eliminar a raiz, elevamos ambos os lados ao quadrado. Antes de fazer isso, nota: elevação ao quadrado é válida porque os z pedidos são não negativos ( 0,1,2,3), e a raiz produz sempre valor não negativo. Elevando ao quadrado obtemos:
9 - x^{2} - y^{2} = z^{2}.
Rearranjando:
x^{2} + y^{2} = 9 - z^{2}.

Passo 4

Interpretação da equação obtida: a equação
x^{2} + y^{2} = 9 - z^{2}
é a equação de um círculo centrado na origem (0,0) no plano xy, com raio
r = \sqrt{9 - z^{2}},
desde que 9 - z^{2} \ge 0. Isso nos dá também a condição admissível para z:
0 \le z \le 3.
Os níveis pedidos estão dentro desse intervalo, então todos são válidos.

Passo 5

Calcular explicitamente o raio para cada nível pedido:
  • Para z=0:
r = \sqrt{9 - 0^{2}} = \sqrt{9} = 3,
logo a linha de contorno é o círculo x^{2}+y^{2}=9 (raio 3).
  • Para z=1:
r = \sqrt{9 - 1^{2}} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2},
logo a linha de contorno é o círculo x^{2}+y^{2}=8 (raio 2\sqrt{2}).
  • Para z=2:
r = \sqrt{9 - 2^{2}} = \sqrt{5},
logo a linha de contorno é o círculo x^{2}+y^{2}=5 (raio \sqrt{5}).
  • Para z=3:
r = \sqrt{9 - 3^{2}} = \sqrt{0} = 0,
logo a “linha” de contorno é o ponto único (0,0) (raio 0).

Passo 6

Como desenhar o mapa de contorno na prática (passo a passo para fazer no papel sem calculadora):
  1. Desenhe os eixos x e y com a origem no centro.
  2. Marque uma escala razoável (por exemplo, cada unidade de comprimento representando 1 no plano xy).
  3. Desenhe círculos concêntricos centrados na origem com os raios calculados:
    • círculo de raio 3 para z=0,
    • círculo de raio 2\sqrt{2} (aprox. 2,828) para z=1,
    • círculo de raio \sqrt{5} (aprox. 2,236) para z=2,
    • ponto na origem para z=3.
  4. Rotule cada círculo com seu valor de z correspondente (por exemplo, escreva z=0 ao lado do círculo maior, z=1 no seguinte, etc.).
  5. Observação geométrica útil para interpretar o mapa: conforme se afasta da origem (raio r aumenta), o valor de z=\sqrt{9-r^{2}} diminui; portanto as curvas são círculos concêntricos que representam alturas decrescentes do centro para a borda.

Passo 7

Exemplo numérico rápido para verificar a coerência: pegue um ponto com x^{2}+y^{2}=5 (por exemplo x=\sqrt{5},y=0). Então
f(\sqrt{5},0)=\sqrt{9-5}=\sqrt{4}=2,
o que confirma que esse ponto pertence à curva de nível z=2.

Resposta

z=0:\\ x^{2}+y^{2}=9 (círculo de raio 3)
z=1:\\ x^{2}+y^{2}=8 (círculo de raio 2\sqrt{2})
z=2:\\ x^{2}+y^{2}=5 (círculo de raio \sqrt{5})
z=3:\\ x^{2}+y^{2}=0 (ponto na origem (0,0))

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