Desenhe o mapa de contorno do gráfico de
mostrando as linhas de contorno correspondentes aos valores de z dados.
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede para desenhar o mapa de contorno (linhas de nível) correspondentes aos valores
. Informações relevantes fornecidas:
- A função é
. - Os níveis pedidos são
. - Deve-se considerar o domínio da função, que exige que o argumento da raiz seja não negativo.
Passo 2
O que é uma linha de contorno (linha de nível) e como achar uma: uma linha de contorno correspondente a um valor fixo
é o conjunto de pontos
no plano tal que
Ou seja, para cada nível
resolve-se a equação acima e descreve-se o conjunto resultante no plano
. Essas curvas mostram onde a superfície tem altura igual a
.
Passo 3
Aplicando o método à nossa função: escrevemos a equação do nível
(aqui
é um valor fixo entre os pedidos):
Para eliminar a raiz, elevamos ambos os lados ao quadrado. Antes de fazer isso, nota: elevação ao quadrado é válida porque os
pedidos são não negativos (
), e a raiz produz sempre valor não negativo. Elevando ao quadrado obtemos:
Rearranjando:
Passo 4
Interpretação da equação obtida: a equação
é a equação de um círculo centrado na origem
no plano
, com raio
desde que
. Isso nos dá também a condição admissível para
:
Os níveis pedidos estão dentro desse intervalo, então todos são válidos.
Passo 5
Calcular explicitamente o raio para cada nível pedido:
- Para
:
logo a linha de contorno é o círculo
(raio
).
- Para
:
logo a linha de contorno é o círculo
(raio
).
- Para
:
logo a linha de contorno é o círculo
(raio
).
- Para
:
logo a “linha” de contorno é o ponto único
(raio
).
Passo 6
Como desenhar o mapa de contorno na prática (passo a passo para fazer no papel sem calculadora):
- Desenhe os eixos
e com a origem no centro. - Marque uma escala razoável (por exemplo, cada unidade de comprimento representando
no plano ). - Desenhe círculos concêntricos centrados na origem com os raios calculados:
- círculo de raio
para , - círculo de raio
(aprox. ) para , - círculo de raio
(aprox. ) para , - ponto na origem para
.
- círculo de raio
- Rotule cada círculo com seu valor de
correspondente (por exemplo, escreva ao lado do círculo maior, no seguinte, etc.). - Observação geométrica útil para interpretar o mapa: conforme se afasta da origem (raio
aumenta), o valor de diminui; portanto as curvas são círculos concêntricos que representam alturas decrescentes do centro para a borda.
Passo 7
Exemplo numérico rápido para verificar a coerência: pegue um ponto com
(por exemplo
). Então
o que confirma que esse ponto pertence à curva de nível
.