Calcule cada uma das integrais abaixo.
integral 1x^3-x d x

Passo 1

Temos que calcular a integral integral 1x^3-x,dx. Isso é uma integral de função racional, e para resolvermos vamos usar decomposição em frações parciais.

Passo 2

Primeiro, fatoramos o denominador: x^3-x = x(x^2-1) = x(x-1)(x+1). Assim podemos escrever
1x(x-1)(x+1) = Ax + Bx-1 + Cx+1

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por x(x-1)(x+1) obtemos
1 = A(x-1)(x+1) + B,x(x+1) + C,x(x-1)

Passo 4

Para achar A,B,C usamos valores estratégicos:
  • Se x=0: 1 = A(-1)(1) A=-1.
  • Se x=1: 1 = Bcdot1cdot2 B=tfrac12.
  • Se x=-1: 1 = Ccdot(-1)cdot(-2) C=tfrac12.

Passo 5

Substituindo na integral:
integral1x^3-x,dx = integrall(-1x+1/2x-1+1/2x+1r)dx

Passo 6

Agora integramos termo a termo:
integrall(-1xr)dx = -ln|x|, integral1/2x-1dx = tfrac12ln|x-1|, integral1/2x+1dx = tfrac12ln|x+1|

Passo 7

Juntando tudo, a antiderivada geral é:
-ln|x| + tfrac12ln|x-1| + tfrac12ln|x+1| + C

Resposta

-\ln|x| + \tfrac12\ln|x-1| + \tfrac12\ln|x+1| + C

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