Seja F: R^3 R^3 o campo constante F(x, y, z)=(0,0, raiz6). Calcular a integral de superfície do campo F através da superfície K=(x, y, z) lvert, x^23+y^22+z^26=1, z >= 0 com a orientação apontando para fora do elipsóide.
Sugestão: A função f : [0, pi2] times[0,2 pi] R^3 dada por f(u, v)=(raiz3 cos v sen u, raiz2 sen v sen u, raiz6 cos u) parametriza a parte superior do elipsoide x^23+y^22+z^26=1 com a orientação apontando para fora.)

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um campo vetorial constante F(x, y, z) = (0, 0, raiz6) e uma superfície K, que é a parte superior de um elipsóide definido por x^23 + y^22 + z^26 = 1 com z >= 0. A gente precisa calcular a integral de superfície desse campo F através da superfície K, considerando que a orientação está apontando para fora do elipsóide. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente a integral de superfície e parametrização de superfícies.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma integral de superfície. A integral de superfície de um campo vetorial F sobre uma superfície K é dada por:
integral duplaK F cdot N , dS
Aqui, N é o vetor normal à superfície K, apontando na direção especificada (neste caso, para fora do elipsóide), e dS é o elemento de área na superfície.

Passo 3

Como a superfície K está parametrizada pela função f(u, v) = (raiz3 cos v sin u, raiz2 sin v sin u, raiz6 cos u) com u in [0, pi2] e v in [0, 2pi], vamos utilizar essa parametrização para calcular a integral. Primeiro, precisamos encontrar os vetores tangentes à superfície.

Passo 4

Calculamos as derivadas parciais da parametrização em relação a u e v:
fu = ( raiz3 cos v cos u, raiz2 sin v cos u, -raiz6 sin u )
fv = ( -raiz3 sin v sin u, raiz2 cos v sin u, 0 )
Esses vetores representam as direções tangentes à superfície nas direções u e v.

Passo 5

Agora, calculamos o produto vetorial desses vetores tangentes para obter o vetor normal não unitário à superfície:
N = fu times fv
Fazendo o cálculo do produto vetorial:
N = i & j & k raiz3 cos v cos u & raiz2 sin v cos u & -raiz6 sin u -raiz3 sin v sin u & raiz2 cos v sin u & 0
Explicando rapidamente, o produto vetorial nos dá um vetor perpendicular à superfície, e o determinante da matriz acima ajuda a calcular isso.

Passo 6

Após calcular o determinante, simplificamos o vetor N:
N = ( raiz6 raiz2 cos v sin u, raiz6 raiz3 sin v sin u, raiz3 raiz2 cos u ) = ( raiz12 cos v sin u, raiz18 sin v sin u, raiz6 cos u )
Podemos simplificar as raízes:
N = ( 2raiz3 cos v sin u, 3raiz2 sin v sin u, raiz6 cos u )

Passo 7

Agora, precisamos calcular o produto escalar entre o campo F = (0, 0, raiz6) e o vetor normal N:
F cdot N = 0 cdot 2raiz3 cos v sin u + 0 cdot 3raiz2 sin v sin u + raiz6 cdot raiz6 cos u = 6 cos u

Passo 8

Com isso, a integral de superfície fica:
integral duplaK F cdot N , dS = integral duplaD 6 cos u , du , dv
Onde D é o domínio de parametrização: u in [0, pi2] e v in [0, 2pi].

Passo 9

Vamos separar as integrais:
6 integral0^pi2 cos u , du cdot integral0^2pi dv
Calculando cada uma:
integral0^pi2 cos u , du = sin u gr|0^pi2 = 1 - 0 = 1
integral0^2pi dv = 2pi

Passo 10

Multiplicando os resultados:
6 cdot 1 cdot 2pi = 12pi

Resposta

A integral de superfície do campo F através da superfície K é igual a 12pi.

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