Find the solution of the differential equation that satisfies the given initial condition.
d yd x=x sin xy, y(0)=-1

Passo 1

O problema pede a solução da EDO dada por dydx = xsin xy com a condição inicial y(0) = -1. Trata-se de uma equação diferencial de variáveis separáveis, onde vamos precisar isolar y de um lado e x do outro para integrar.

Passo 2

Separamos variáveis multiplicando ambos os lados por y,dx:
y,dy = xsin x,dx
Agora temos ambos os lados prontos para integrar.

Passo 3

Integramos cada lado. No lado esquerdo:
integral y,dy = y^22 + C1
No lado direito usamos integração por partes para integral xsin x,dx. Seja u = x,,dv = sin x,dx, então du = dx,,v = -cos x. Logo:
integral xsin x,dx = -xcos x + integral cos x,dx = -xcos x + sin x + C2
Combinando as constantes em C e igualando as integrais:
y^22 = -xcos x + sin x + C

Passo 4

Aplicamos a condição inicial y(0)=-1. Substituindo em y^22 = -xcos x + sin x + C para x=0 e y=-1:
(-1)^22 = -0cdotcos 0 + sin 0 + C implies 12 = 0 + 0 + C implies C = 12
Portanto a relação fica:
y^22 = -xcos x + sin x + 12
Multiplicando por 2:
y^2 = -2xcos x + 2sin x + 1

Passo 5

Isolamos y:
y = pmraiz-2xcos x + 2sin x + 1
Como precisamos satisfazer y(0)=-1<0, escolhemos o sinal negativo.

Resposta

y = -raiz-2xcos x + 2sin x + 1

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