Solve the differential equation.
d yd x=3 x^2 y^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial dydx = 3x^2y^2. Esse tipo de problema está relacionado ao estudo de equações diferenciais, que são equações que envolvem derivadas de uma função. Para resolver essa equação, vamos usar o método de separação de variáveis, que ajuda a isolar y de um lado e x do outro.

Passo 2

Primeiro, vamos separar as variáveis y e x para lados opostos da equação. Começamos dividindo ambos os lados por y^2 para isolar dydx:
1y^2 , dy = 3x^2 , dx
Isso facilita a integração de cada lado separadamente.

Passo 3

Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. A integração é o processo inverso da diferenciação e nos ajuda a encontrar a função y:
integral 1y^2 , dy = integral 3x^2 , dx
Calculando as integrais:
integral y^-2 , dy = -y^-1 + C1 e integral 3x^2 , dx = x^3 + C2

Passo 4

Após a integração, comparamos os resultados e combinamos as constantes C1 e C2 em uma única constante C:
-1y = x^3 + C
Vamos resolver para y isolando-o na equação:
-1x^3 + C = y
Multiplicando ambos os lados por -1:
y = -1x^3 + C
Podemos reescrever a constante C como -C para simplificar:
y = 1-x^3 + C ou y = 1C - x^3

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y(x) = 1C - x^3
onde C é a constante de integração.

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