Calcule cada uma das integrais abaixo.
Passo 1
A gente quer calcular a integral
. Isso é uma função racional com denomínio
, então o tema é decomposição em frações parciais. Vamos precisar usar essa técnica para reescrever o integrando como soma de termos fáceis de integrar.
Passo 2
Primeiro a gente assume a forma de frações parciais:
Isso nos leva à identidade de polinômios:
Passo 3
Para encontrar
e
rapidamente, fazemos valores especiais:
- Se
, então , logo . - Se
, então , logo .
Agora escrevemos equações para os coeficientes de potências de. Mas já percebemos que e que das condições de soma de coeficientes vem e . Resolvendo, obtemos e .
Passo 4
Logo a decomposição final é:
Passo 5
Agora integramos termo a termo:
-
. -
. -
. -
.
Passo 6
Somando tudo com os coeficientes
, temos:
Finalmente, dá para combinar os logaritmos e simplificar o termo racional: