Calcule cada uma das integrais abaixo.
integral 1(x^2-1)^2 d x

Passo 1

A gente quer calcular a integral integral 1(x^2-1)^2,dx. Isso é uma função racional com denomínio (x-1)^2(x+1)^2, então o tema é decomposição em frações parciais. Vamos precisar usar essa técnica para reescrever o integrando como soma de termos fáceis de integrar.

Passo 2

Primeiro a gente assume a forma de frações parciais:
1(x^2-1)^2 = 1(x-1)^2(x+1)^2 = Ax-1 + B(x-1)^2 + Cx+1 + D(x+1)^2
Isso nos leva à identidade de polinômios:
1 = A(x-1)(x+1)^2 + B(x+1)^2 + C(x+1)(x-1)^2 + D(x-1)^2

Passo 3

Para encontrar B e D rapidamente, fazemos valores especiais:
  • Se x=1, então 1 = Bcdot(1+1)^2 = 4B, logo B=1/4.
  • Se x=-1, então 1 = Dcdot(-1-1)^2 = 4D, logo D=1/4.
    Agora escrevemos equações para os coeficientes de potências de x. Mas já percebemos que B+D=1/2 e que das condições de soma de coeficientes vem A+C=0 e A-C=-1/2. Resolvendo, obtemos A=-1/4 e C=1/4.

Passo 4

Logo a decomposição final é:
1(x^2-1)^2 = -141x-1 + 141(x-1)^2 + 141x+1 + 141(x+1)^2

Passo 5

Agora integramos termo a termo:
  • integral 1x-1,dx = ln|x-1|.
  • integral 1(x-1)^2,dx = -1x-1.
  • integral 1x+1,dx = ln|x+1|.
  • integral 1(x+1)^2,dx = -1x+1.

Passo 6

Somando tudo com os coeficientes pm1/4, temos:
integral 1(x^2-1)^2,dx = -14ln|x-1| - 14(x-1) + 14ln|x+1| - 14(x+1) + C
Finalmente, dá para combinar os logaritmos e simplificar o termo racional:
integral 1(x^2-1)^2,dx = 14lnl|x+1x-1r| - x2(x^2-1) + C

Resposta

integral 1(x^2-1)^2,dx = 14lnl|x+1x-1r| - x2(x^2-1) + C.

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