A equação
é dita exata se puder ser escrita na forma:
onde
pode ser determinada em função de
e
.
Essa última equação pode ser integrada uma vez imediatamente, resultando em uma equação de primeira ordem para
que pode ser resolvida como uma equação diferencial linear de primeira ordem com coeficientes variáveis.
Uma condição necessária e suficiente para que a equação seja exata é que
Determine quais das seguintes equações diferenciais são exatas:
Essa última equação pode ser integrada uma vez imediatamente, resultando em uma equação de primeira ordem para
Uma condição necessária e suficiente para que a equação seja exata é que
Passo 1
Resumo do enunciado: queremos verificar se a equação
é exata, isto é, se satisfaz a condição necessária e suficiente
Aqui a equação dada é
com domínio
.
Passo 2
Identificação de
,
e
:
Observando o formato , temos
Observando o formato
Passo 3
Cálculo de
:
Primeiro derivamos :
Primeiro derivamos
Derivamos
:
Então
Passo 4
Verificação da condição de exatidão: para ser exata, precisaríamos de
para todo
. Aqui encontramos
, que não é identicamente zero. Logo, a equação não satisfaz a condição de exatidão.
Resposta
A equação não é exata.