A equação
P(x) y^prime prime+Q(x) y^prime+R(x) y=0
é dita exata se puder ser escrita na forma:
[P(x) y^prime]^prime+[f(x) y^prime]^prime=0
onde f(x) pode ser determinada em função de P(x), Q(x) e R(x).
Essa última equação pode ser integrada uma vez imediatamente, resultando em uma equação de primeira ordem para y que pode ser resolvida como uma equação diferencial linear de primeira ordem com coeficientes variáveis.
Uma condição necessária e suficiente para que a equação seja exata é que
P^prime prime(x)+Q^prime(x)+R(x)=0
Determine quais das seguintes equações diferenciais são exatas:
x y^prime prime-(cos x) y^prime+(sen x) y=0, x>0

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos verificar se a equação
P(x)y''+Q(x)y'+R(x)y=0
é exata, isto é, se satisfaz a condição necessária e suficiente
P''(x)+Q'(x)+R(x)=0
Aqui a equação dada é
x,y''-(cos x),y'+(sin x),y=0,
com domínio x>0.

Passo 2

Identificação de P(x), Q(x) e R(x):
Observando o formato P(x)y''+Q(x)y'+R(x)y=0, temos
P(x)=x,
Q(x)=-cos x,
R(x)=sin x

Passo 3

Cálculo de P''(x)+Q'(x)+R(x):
Primeiro derivamos P(x):
P'(x)=1
P''(x)=0
Derivamos Q(x):
Q'(x)=ddx(-cos x)=sin x
Então
P''(x)+Q'(x)+R(x)=0+sin x+sin x=2sin x

Passo 4

Verificação da condição de exatidão: para ser exata, precisaríamos de
P''(x)+Q'(x)+R(x)=0
para todo x>0. Aqui encontramos 2sin x, que não é identicamente zero. Logo, a equação não satisfaz a condição de exatidão.

Resposta

A equação não é exata.

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