Calcule cada uma das integrais abaixo.
integral x+4x^2+5 x-6 d x

Passo 1

Estamos resolvendo a integral indefinida integral x+4x^2+5x-6,dx. O conteúdo aqui é integração de função racional por decomposição em frações parciais, e vamos precisar também do fato de que integral 1xdx=ln|x|+C.

Passo 2

Primeiro passo é fatorar o denominador. Observamos que
x^2+5x-6=(x+6)(x-1)

Passo 3

Agora montamos a decomposição em frações parciais, ou seja, procuramos constantes A e B tais que
x+4(x+6)(x-1)=Ax+6+Bx-1

Passo 4

Multiplicando ambos os lados por (x+6)(x-1) obtemos
x+4=A(x-1)+B(x+6)
Para achar A e B) podemos usar valores convenientes de x):
  • Se x=1: 1+4=5=Acdot0 + Bcdot7 logo B=5/7.
  • Se x=-6: -6+4=-2=Acdot(-7)+Bcdot0 logo A=2/7.

Passo 5

Substituindo A e B na integral, temos
integral x+4x^2+5x-6,dx=integrall(2/7x+6+5/7x-1r)dx
Isso se separa em duas integrais que resultam em logaritmos:
27ln|x+6|+57ln|x-1|+C

Resposta

27ln|x+6|+57ln|x-1|+C

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