A equação
P(x) y^prime prime+Q(x) y^prime+R(x) y=0
é dita exata se puder ser escrita na forma:
[P(x) y^prime]^prime+[f(x) y^prime]^prime=0
onde f(x) pode ser determinada em função de P(x), Q(x) e R(x).
Essa última equação pode ser integrada uma vez imediatamente, resultando em uma equação de primeira ordem para y que pode ser resolvida como uma equação diferencial linear de primeira ordem com coeficientes variáveis.
Uma condição necessária e suficiente para que a equação seja exata é que
P^prime prime(x)+Q^prime(x)+R(x)=0
Determine quais das seguintes equações diferenciais são exatas:
e^-x y^prime prime+e^-x y^prime-2 e^-x y=0

Passo 1

O enunciado quer saber se a equação
e^-xy'' + e^-xy' - 2e^-xy = 0
é exata, usando a condição necessária e suficiente
P''(x) + Q'(x) + R(x) = 0
para uma equação da forma
P(x)y'' + Q(x)y' + R(x)y = 0.

Passo 2

Identificamos os coeficientes comparando com
P(x)y'' + Q(x)y' + R(x)y = 0:
P(x) = e^-x,
Q(x) = e^-x,
R(x) = -2e^-x

Passo 3

Calculamos as derivadas de cada função:
Para P(x)=e^-x:
P'(x) = -e^-x,
P''(x) = e^-x
Para Q(x)=e^-x:
Q'(x) = -e^-x

Passo 4

Substituímos na condição de exatidão:
P''(x) + Q'(x) + R(x) = e^-x + (-e^-x) + (-2e^-x) = -2e^-x

Passo 5

Como -2e^-x neq 0 para todo x, a condição
P''(x)+Q'(x)+R(x)=0
não se satisfaz, logo a equação não é exata.

Resposta

A equação dada não é exata.

Exercícios relacionados