Verifique as identidades: x^n-a^n=(x-a)(x^n-1+a x^n-2+a^2 x^n-3+ldots+a^n-2 x+a^n-1) onde n neq 0 é um natural.
2) Simplifique
a) 1x-15x-5

Passo 1

A questão pede para verificar a identidade de diferença de potências e, em seguida, simplificar uma expressão racional. O conteúdo envolve fatoração de polinômios (uso de soma geométrica e telescópio) e manipulação de frações algébricas.

Passo 2

Considere a soma
S = x^n-1 + a,x^n-2 + a^2,x^n-3 + dots + a^n-2x + a^n-1 Multiplicando S por x - a e distribuindo, obtemos:
(x - a)S = xl(x^n-1 + a x^n-2 + dots + a^n-1r) - al(x^n-1 + a x^n-2 + dots + a^n-1r) Ao expandir, cada termo xcdot a^k x^n-1-k cancela com acdot a^k-1x^n-k, exceto o primeiro e o último, resultando em
(x - a)S = x^n - a^n Logo, fica verificado que
x^n - a^n = (x - a)l(x^n-1 + a x^n-2 + dots + a^n-1r)

Passo 3

Para simplificar
1x - 15x - 5, primeiro escrevemos o numerador com denominador comum:
1x - 15 = 5 - x5x Então a expressão fica
5 - x5xx - 5 = 5 - x5x,(x - 5) Observando que 5 - x = -(x - 5), podemos cancelar x - 5 e obter
5 - x5x,(x - 5) = -15x

Resposta

A identidade está verificada e a expressão simplifica para

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