Seja f uma função derivável. Sabe-se que a reta tangente ao gráfico de f no ponto (1,2) tem equação y=3 x-1. Então, lim x 1 f(x^2)-2x-1 é igual a:

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o que o exercício está pedindo. Temos uma função $ f $ que é derivável, e sabemos que a reta tangente ao gráfico de $ f $ no ponto $ (1, 2) $ é $ y = 3x - 1 $. A pergunta quer que a gente encontre o limite:
f
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas e limites.

Passo 2

Como $ f $ é derivável no ponto $ x = 1 $, isso significa que $ f $ também é contínua nesse ponto. A derivada de $ f $ em $ x = 1 $, que representa a inclinação da reta tangente, é igual a 3 (já que a reta tangente é $ y = 3x - 1 $). Então, podemos dizer que:
f

Passo 3

Agora, vamos analisar o limite que queremos calcular:
limx 1 f(x^2) - 2x - 1
Note que quando $ x $ se aproxima de 1, $ x^{2} $ também se aproxima de 1. Então, podemos fazer uma substituição para facilitar o cálculo.

Passo 4

Vamos definir uma nova variável $ t $ tal que:
t
Quando $ x $ se aproxima de 1, $ t $ também se aproxima de 1. Então, podemos reescrever o limite em termos de $ t $:
t = x^2
Aqui, usamos que $ x = \sqrt{t} $ já que $ t = x^{2} $.

Passo 5

Sabemos que $ f $ é diferenciável em $ t = 1 $, então podemos usar a aproximação linear de $ f(t) $ perto de $ t = 1 $:
f
Sabemos que $ f(1) = 2 $ e $ f’(1) = 3 $, então:
t = 1
Substituindo isso na expressão do limite:
f(t)

Passo 6

Simplificando a fração:
3(t - 1)raizt - 1
Para simplificar, multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado do denominador, que é $ \sqrt{t} + 1 $:
raizt + 1
Agora, ao calcular o limite quando $ t $ se aproxima de 1:
3(t - 1)(raizt + 1)(raizt - 1)(raizt + 1) = 3(t - 1)(raizt + 1)t - 1 = 3(raizt + 1)

Resposta

6

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