Seja
uma função derivável. Sabe-se que a reta tangente ao gráfico de
no ponto
tem equação
. Então,
é igual a:
Passo 1
Primeiro, vamos resumir o que o exercício está pedindo. Temos uma função $ f $ que é derivável, e sabemos que a reta tangente ao gráfico de $ f $ no ponto $ (1, 2) $ é $ y = 3x - 1 $. A pergunta quer que a gente encontre o limite:
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas e limites.
Passo 2
Como $ f $ é derivável no ponto $ x = 1 $, isso significa que $ f $ também é contínua nesse ponto. A derivada de $ f $ em $ x = 1 $, que representa a inclinação da reta tangente, é igual a 3 (já que a reta tangente é $ y = 3x - 1 $). Então, podemos dizer que:
Passo 3
Agora, vamos analisar o limite que queremos calcular:
Note que quando $ x $ se aproxima de 1, $ x^{2} $ também se aproxima de 1. Então, podemos fazer uma substituição para facilitar o cálculo.
Passo 4
Vamos definir uma nova variável $ t $ tal que:
Quando $ x $ se aproxima de 1, $ t $ também se aproxima de 1. Então, podemos reescrever o limite em termos de $ t $:
Aqui, usamos que $ x = \sqrt{t} $ já que $ t = x^{2} $.
Passo 5
Sabemos que $ f $ é diferenciável em $ t = 1 $, então podemos usar a aproximação linear de $ f(t) $ perto de $ t = 1 $:
Sabemos que $ f(1) = 2 $ e $ f’(1) = 3 $, então:
Substituindo isso na expressão do limite:
Passo 6
Simplificando a fração:
Para simplificar, multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado do denominador, que é $ \sqrt{t} + 1 $:
Agora, ao calcular o limite quando $ t $ se aproxima de 1:
Resposta
6