Calcule cada uma das integrais indefinidas utilizando substituição trigonométrica:
integral d xx^2 raizx^2-9 d x

Passo 1

O exercício pede para calcular integral dxx^2raizx^2-9 usando substituição trigonométrica. O tema é integrar funções que envolvem raizx^2-a^2 e vamos usar a substituição adequada para esse caso.

Passo 2

Como temos raizx^2-9, escolhemos x=3sectheta. Isso implica que
dx=3secthetatantheta,dtheta
e também
raizx^2-9=raiz9sec^2theta-9=3tantheta
Assumimos theta no intervalo onde essas expressões fazem sentido e sectheta>0.

Passo 3

Substituindo tudo na integral original, temos
integral dxx^2raizx^2-9 =integral 3secthetatantheta,dtheta(3sectheta)^2,(3tantheta) =integral 3secthetatantheta9sec^2thetacdot3tantheta,dtheta =integral 19costheta,dtheta
onde simplificamos secthetatantheta com sec^2theta e tantheta.

Passo 4

Agora basta integrar em theta:
integral 19costheta,dtheta = 19sintheta + C
porque integralcostheta,dtheta=sintheta.

Passo 5

Para voltar a x, usamos
sintheta = raiz1-cos^2theta = raiz1-l(tfrac3xr)^2 = raizx^2-9x
Logo o resultado é
19raizx^2-9x + C

Resposta

raizx^2-99,x + C

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