integral 2 x^3-4 x^2-x-3x^2-2 x-3 d x

Passo 1

O exercício pede para calcular a integral integral 2x^3-4x^2-x-3x^2-2x-3,dx. O conteúdo envolvido é a integração de funções racionais, e vamos precisar usar divisão de polinômios para separar parte polinomial e depois decompor a parte fracionária em frações parciais.

Passo 2

Fazendo a divisão de polinômios de 2x^3-4x^2-x-3 por x^2-2x-3:
2x^3-4x^2-x-3x^2-2x-3=2x+5x-3x^2-2x-3
Isso reduz a integral a integrall(2x + 5x-3x^2-2x-3r)dx.

Passo 3

Agora fatoramos o denominador da parte fracionária e aplicamos frações parciais. Observamos que
x^2-2x-3=(x-3)(x+1)
Queremos
5x-3(x-3)(x+1)=Ax-3+Bx+1
Multiplicando ambos os lados por (x-3)(x+1) e comparando coeficientes:
5x-3 = A(x+1)+B(x-3) = (A+B)x + (A-3B)
Das igualdades A+B=5 e A-3B=-3 obtemos B=2 e A=3. Assim
5x-3x^2-2x-3=3x-3+2x+1

Passo 4

Substituindo de volta, a integral vira
integral2x^3-4x^2-x-3x^2-2x-3dx=integrall(2x+3x-3+2x+1r)dx
Agora integramos termo a termo:
integral2x,dx = x^2,
integral3x-3dx = 3ln|x-3|,
integral2x+1dx = 2ln|x+1|
Somando tudo, obtemos a primitiva desejada.

Resposta

x^{2} + 3\ln|x-3| + 2\ln|x+1| + C

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