Passo 1
O exercício pede para calcular a integral
. O conteúdo envolvido é a integração de funções racionais, e vamos precisar usar divisão de polinômios para separar parte polinomial e depois decompor a parte fracionária em frações parciais.
Passo 2
Fazendo a divisão de polinômios de
por
:
Isso reduz a integral a
.
Passo 3
Agora fatoramos o denominador da parte fracionária e aplicamos frações parciais. Observamos que
Queremos
Multiplicando ambos os lados por
e comparando coeficientes:
Das igualdades
e
obtemos
e
. Assim
Passo 4
Substituindo de volta, a integral vira
Agora integramos termo a termo:
Somando tudo, obtemos a primitiva desejada.
Resposta
x^{2} + 3\ln|x-3| + 2\ln|x+1| + C