Calcule cada uma das integrais de linha, onde a curva gamma é um contorno arbitráriq ^1 entre pontos indicados nos limites de integração.
integralj^j / 2 e^pi z d z
^1 assumindo apenas que a curva está dentro de um domínio simplesmente conexo no qual a função no integrando é analítica

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos calcular a integral de linha de e^pi z ao longo de qualquer caminho que liga z=j a z=tfrac j2. Como e^pi z é analítica num domínio simplesmente conexo, a integral independe do caminho e basta usar uma primitiva.

Passo 2

Encontrar uma primitiva de e^pi z: sabemos que ddze^pi z=pi e^pi z. Logo, uma primitiva é
F(z)=1pie^pi z

Passo 3

Avaliar a integral pelos extremos usando a primitiva:
integralj^j/2e^pi z,dz=Fl(tfrac j2r)-F(j)=1pil(e^pi (j/2)-e^pi jr)

Passo 4

Calcular as exponenciais:
e^pi (j/2)=cospi2+jsinpi2=j,
e^pi j=cospi+jsinpi=-1
Logo,
e^pi (j/2)-e^pi j=j-(-1)=1+j

Resposta

1+jpi

Exercícios relacionados