Integre x^2+y^2+z^2 sobre o cilindro x^2+y^2 <= 2,-2 <= z <= 3.

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral tripla da função f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2 sobre o cilindro definido por x^2+y^2<=2 e -2<= z<=3. O conteúdo da matéria é integrais triplas e vamos usar coordenadas cilíndricas para simplificar a região.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas, fazemos x=rcostheta, y=rsintheta e o elemento de volume é dV=r,dr,dtheta,dz. As variáveis variam em 0<= r<=raiz2, 0<=theta<=2pi e -2<= z<=3. A integral fica:
integral0^2piintegral0^raiz2integral-2^3(r^2+z^2),r,dz,dr,dtheta

Passo 3

Para integrar em z primeiro, tratamos r como constante:
integral-2^3(r^2+z^2),r,dz =rintegral-2^3(r^2+z^2),dz =rl[r^2z+z^33r]-2^3 =5r^3+353r

Passo 4

Agora integramos em r e theta. O fator 2pi vem da integral em theta:
2piintegral0^raiz2l(5r^3+353rr)dr =2pil[5r^44+35r^26r]0^raiz2 =2pil(5+353r) =100pi3

Resposta

100pi3

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