Represente no espaço os seguintes pontos em coordenadas esféricas, em seguida, escreva-os em coordenadas cartesianas e em coordenadas cilíndricas: P1=(1,0,0), P2=(1, pi, 0), P3=(1, pi / 2,2 pi), P4=(1, pi / 2, pi / 2), P5=(1, pi / 2,3 pi / 2), P6=(raiz2, pi / 2, pi / 4), P7=(raiz3, arctg raiz2, pi / 4), P8= (1, pi / 2, pi / 6), P9=(1, pi / 2, pi).

Passo 1

O enunciado pede para converter nove pontos dados em coordenadas esféricas $(\rho,\theta,\phi)$ para coordenadas cartesianas $(x,y,z)$ e cilíndricas $(r,\varphi,z)$. O conteúdo envolve entender as definições e fórmulas de conversão entre esses sistemas de coordenadas.

Passo 2

Para passar de coordenadas esféricas para cartesianas, usamos as fórmulas:
x=rhosinthetacosphi, y=rhosinthetasinphi, z=rhocostheta
Aqui theta é o ângulo polar (colatitude, medido desde o eixo z) e phi é o ângulo azimutal no plano xy.

Passo 3

Aplicando essas fórmulas a cada ponto obtemos as coordenadas cartesianas:
P₁: (0,0,1)
P₂: (0,0,1)
P₃: (1,0,0)
P₄: (0,1,0)
P₅: (0,-1,0)
P₆: (1,1,0)
P₇: (1,1,1)
P₈: (tfracraiz32,tfrac12,0)
P₉: (-1,0,0).

Passo 4

Para converter de cartesianas para cilíndricas, usamos:
r=raizx^2+y^2, varphi=atan2(y,x), z=z
Aqui varphi coincide com o ângulo azimutal phi que tínhamos nas esféricas.

Passo 5

Aplicando essas fórmulas, os pontos em coordenadas cilíndricas ficam:
P₁: (0,0,1)
P₂: (0,pi,1)
P₃: (1,2pi,0)
P₄: (1,tfracpi2,0)
P₅: (1,tfrac3pi2,0)
P₆: (raiz2,tfracpi4,0)
P₇: (raiz2,tfracpi4,1)
P₈: (1,tfracpi6,0)
P₉: (1,pi,0).

Resposta

P₁: coordenadas cartesianas (0,0,1), cilíndricas (0,0,1)
P₂: coordenadas cartesianas (0,0,1), cilíndricas (0,π,1)
P₃: coordenadas cartesianas (1,0,0), cilíndricas (1,2π,0)
P₄: coordenadas cartesianas (0,1,0), cilíndricas (1,π/2,0)
P₅: coordenadas cartesianas (0,-1,0), cilíndricas (1,3π/2,0)
P₆: coordenadas cartesianas (1,1,0), cilíndricas (√2,π/4,0)
P₇: coordenadas cartesianas (1,1,1), cilíndricas (√2,π/4,1)
P₈: coordenadas cartesianas (√3/2,1/2,0), cilíndricas (1,π/6,0)
P₉: coordenadas cartesianas (-1,0,0), cilíndricas (1,π,0)

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