Represente no espaço os seguintes pontos em coordenadas esféricas, em seguida, escreva-os em coordenadas cartesianas e em coordenadas cilíndricas:
,
.
Passo 1
O enunciado pede para converter nove pontos dados em coordenadas esféricas $(\rho,\theta,\phi)$ para coordenadas cartesianas $(x,y,z)$ e cilíndricas $(r,\varphi,z)$. O conteúdo envolve entender as definições e fórmulas de conversão entre esses sistemas de coordenadas.
Passo 2
Para passar de coordenadas esféricas para cartesianas, usamos as fórmulas:
Aqui
é o ângulo polar (colatitude, medido desde o eixo
) e
é o ângulo azimutal no plano
.
Passo 3
Aplicando essas fórmulas a cada ponto obtemos as coordenadas cartesianas:
P₁:
P₂:
P₃:
P₄:
P₅:
P₆:
P₇:
P₈:
P₉: .
P₂:
P₃:
P₄:
P₅:
P₆:
P₇:
P₈:
P₉:
Passo 4
Para converter de cartesianas para cilíndricas, usamos:
Aqui
coincide com o ângulo azimutal
que tínhamos nas esféricas.
Passo 5
Aplicando essas fórmulas, os pontos em coordenadas cilíndricas ficam:
P₁:
P₂:
P₃:
P₄:
P₅:
P₆:
P₇:
P₈:
P₉: .
P₂:
P₃:
P₄:
P₅:
P₆:
P₇:
P₈:
P₉:
Resposta
P₁: coordenadas cartesianas (0,0,1), cilíndricas (0,0,1)
P₂: coordenadas cartesianas (0,0,1), cilíndricas (0,π,1)
P₃: coordenadas cartesianas (1,0,0), cilíndricas (1,2π,0)
P₄: coordenadas cartesianas (0,1,0), cilíndricas (1,π/2,0)
P₅: coordenadas cartesianas (0,-1,0), cilíndricas (1,3π/2,0)
P₆: coordenadas cartesianas (1,1,0), cilíndricas (√2,π/4,0)
P₇: coordenadas cartesianas (1,1,1), cilíndricas (√2,π/4,1)
P₈: coordenadas cartesianas (√3/2,1/2,0), cilíndricas (1,π/6,0)
P₉: coordenadas cartesianas (-1,0,0), cilíndricas (1,π,0)
P₂: coordenadas cartesianas (0,0,1), cilíndricas (0,π,1)
P₃: coordenadas cartesianas (1,0,0), cilíndricas (1,2π,0)
P₄: coordenadas cartesianas (0,1,0), cilíndricas (1,π/2,0)
P₅: coordenadas cartesianas (0,-1,0), cilíndricas (1,3π/2,0)
P₆: coordenadas cartesianas (1,1,0), cilíndricas (√2,π/4,0)
P₇: coordenadas cartesianas (1,1,1), cilíndricas (√2,π/4,1)
P₈: coordenadas cartesianas (√3/2,1/2,0), cilíndricas (1,π/6,0)
P₉: coordenadas cartesianas (-1,0,0), cilíndricas (1,π,0)