Calcule cada uma das integrais de linha, onde a curva gamma é um contorno arbitráriq ^1 entre pontos indicados nos limites de integração.
integral0^pi+2 j cos (z / 2) d z
^1 assumindo apenas que a curva está dentro de um domínio simplesmente conexo no qual a função no integrando é analítica

Passo 1

Temos a integral de linha
integral0^pi+2j cosl(tfracz2r) , dz
O conteúdo envolve integrais de linha de funções analíticas em uma região simplesmente conexa, onde a integral independe do caminho e pode ser calculada via primitiva.

Passo 2

Como a função cosl(tfracz2r) é analítica, existe uma primitiva F tal que F'(z)=cosl(tfracz2r). Sabendo que ddzsinl(tfracz2r)=tfrac12cosl(tfracz2r), escolhemos:
F(z)=2sinl(tfracz2r) .

Passo 3

Aplicamos o teorema fundamental do cálculo para integrais de linha de funções analíticas:
integral0^pi+2jcosl(tfracz2r),dz = F(pi+2j)-F(0) = 2sinl(tfracpi+2j2r)-2sin(0) = 2sinl(tfracpi2+jr)

Passo 4

Para simplificar sin(tfracpi2+j), usamos a identidade sin(a+ib)=sin acosh b+icos asinh b. Com a=tfracpi2 e b=1, obtemos sin(tfracpi2+j)=cosh(1). Assim, a integral vale 2cosh(1).

Resposta

2cosh(1)

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