Esboce detalhadamente a região limitada pelas curvas abaixo e calcule sua área.
x=-1, x=1, y=11+x^2, y=0;

Passo 1

Primeiro, entendi que a questão pede a área da região limitada pelas retas x=-1, x=1, pela curva y=11+x^2 e pelo eixo y=0. O tópico envolvido é cálculo de integrais definidas para encontrar áreas sob curvas. Para resolver, vamos precisar esboçar a região, escrever a integral definida correspondente e calcular essa integral usando antiderivadas.

Passo 2

Para esboçar a região: desenhe o eixo x- y, marque as linhas verticais em x=-1 e x=1, e a curva y=11+x^2, que tem valor máximo y=1 em x=0 e decresce simetricamente até y=tfrac12 em x=pm1. A região desejada é a área entre essa curva e o eixo y=0, confinada entre x=-1 e x=1.

Passo 3

Como a região é a área sob a curva acima do eixo y=0 entre x=-1 e x=1, podemos escrever a área A como a integral definida
A = integral-1^1 (11+x^2 - 0)dx

Passo 4

A próxima etapa é encontrar a antiderivada de 11+x^2. Sabemos pela teoria de integrais imediatas que
integral 11+x^2 dx = arctan x + C

Passo 5

Finalmente, avaliamos a integral definida usando a antiderivada nos limites de integração:
A = l[arctan xr]-1^1 = arctan(1) - arctan(-1) = pi4 - l(-pi4r) = pi2

Resposta

pi2

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