Esboce detalhadamente a região limitada pelas curvas abaixo e calcule sua área.
;
Passo 1
Primeiro, entendi que a questão pede a área da região limitada pelas retas
,
, pela curva
e pelo eixo
. O tópico envolvido é cálculo de integrais definidas para encontrar áreas sob curvas. Para resolver, vamos precisar esboçar a região, escrever a integral definida correspondente e calcular essa integral usando antiderivadas.
Passo 2
Para esboçar a região: desenhe o eixo
-
, marque as linhas verticais em
e
, e a curva
, que tem valor máximo
em
e decresce simetricamente até
em
. A região desejada é a área entre essa curva e o eixo
, confinada entre
e
.
Passo 3
Como a região é a área sob a curva acima do eixo
entre
e
, podemos escrever a área
como a integral definida
Passo 4
A próxima etapa é encontrar a antiderivada de
. Sabemos pela teoria de integrais imediatas que
Passo 5
Finalmente, avaliamos a integral definida usando a antiderivada nos limites de integração: