Esboce detalhadamente a região limitada pelas curvas abaixo e calcule sua área.
x >= 0, y=raiz1-x^2, y=0.

Passo 1

Estamos com a região no primeiro quadrante limitada por x>=0, pela curva y=raiz1-x^2 e pelo eixo y=0. O conteúdo é cálculo de área por integração definida e vamos usar a fórmula integrala^b f(x),dx junto com conceitos de círculo e substituição trigonométrica.

Passo 2

Desenhamos o semicírculo de raio 1 centrado na origem e consideramos apenas xin[0,1] e y>=0. A área desejada é a área sob a curva e acima de y=0, ou seja:

Passo 3

Para calcular integral0^1 raiz1 - x^2,dx, usamos a substituição trigonométrica
com limites mudando de nx = sintheta, dx = costheta,dtheta, raiz1 - x^2 = costheta,n e x=0mapstotheta=0. Assim a integral vira

Passo 4

Aplicando a identidade cos^2theta=tfrac1+cos(2theta)2, temos
Substituindo os limites nintegral0^pi/2 cos^2theta,dtheta = integral0^pi/2 1+cos(2theta)2,dtheta = [theta2 + sin(2theta)4]0^pi/2n e 0 na expressão acima, obtemos o valor da área.

Resposta

\frac{\pi}{4}

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