Calcule cada uma das integrais seguintes, em alguns casos fazendo a substituição dada, em outros determinando qual substituição a ser feita.
\int\left(x^{2}+2 x\right) \cos x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int (x^{2}+2x)\,\cos x\,dx
que é um produto de polinômio por função trigonométrica. A técnica apropriada aqui é integração por partes, possivelmente aplicada duas vezes.

Passo 2

Fazemos a primeira integração por partes escolhendo \displaystyle u = x^{2}+2x e \displaystyle dv = \cos x\,dx.
Então
du = (2x+2)\,dx, \qquad v = \sin x.
Logo
\int (x^{2}+2x)\cos x\,dx = (x^{2}+2x)\,\sin x - \int (2x+2)\,\sin x\,dx.

Passo 3

Note que
\int (2x+2)\sin x\,dx = 2\int (x+1)\sin x\,dx.
Para \displaystyle \int (x+1)\sin x\,dx aplicamos integração por partes de novo, com \displaystyle u_{2}=x+1, \displaystyle dv_{2}=\sin x\,dx.
Então
du_{2}=dx, \qquad v_{2}=-\cos x,
e
\int (x+1)\sin x\,dx = -(x+1)\cos x + \int \cos x\,dx = -(x+1)\cos x + \sin x.
Multiplicando por 2:
2\int (x+1)\sin x\,dx = -2(x+1)\cos x + 2\sin x.

Passo 4

Voltando à fórmula do Passo 2,
\int (x^{2}+2x)\cos x\,dx = (x^{2}+2x)\sin x - \bigl[-2(x+1)\cos x + 2\sin x\bigr]
= (x^{2}+2x)\sin x +2(x+1)\cos x -2\sin x + C.

Resposta

\int (x^{2}+2x)\cos x\,dx = (x^{2}+2x)\sin x +2(x+1)\cos x -2\sin x + C.

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