Calcule cada uma das integrais seguintes.
\int\left(2 x^{2}+2 x-3\right)^{10}(2 x+1) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int (2x^{2} + 2x - 3)^{10}\,(2x+1)\,dx
O conteúdo envolvido é técnica de substituição em integrais, onde reconhecemos parte da função cuja derivada aparece multiplicando.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = 2x^{2} + 2x - 3
para simplificar a expressão dentro da potência.

Passo 3

Calculamos a diferencial de u. Derivando em relação a x,
\frac{du}{dx} = 4x + 2 = 2\,(2x+1)
Logo, isolando (2x+1)\,dx, temos
(2x+1)\,dx = \frac{du}{2}\,.

Passo 4

Substituímos na integral original:
\int (2x^{2} + 2x - 3)^{10}\,(2x+1)\,dx = \int u^{10} \cdot \frac{du}{2} = \frac{1}{2}\,\int u^{10}\,du.

Passo 5

Integramos em u:
\frac{1}{2}\,\int u^{10}\,du = \frac{1}{2}\,\cdot\frac{u^{11}}{11} + C = \frac{u^{11}}{22} + C.

Passo 6

Voltando à variável x, substituímos u = 2x^{2} + 2x - 3:
\frac{u^{11}}{22} + C = \frac{(2x^{2} + 2x - 3)^{11}}{22} + C.

Resposta

\boxed{\int (2x^{2} + 2x - 3)^{10}\,(2x+1)\,dx = \frac{(2x^{2} + 2x - 3)^{11}}{22} + C.}

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