Considere \circ conjunto P=\left\{(a, b) \in \mathbb{Z}^{*} \times \mathbb{Z}^{*} ; 1 / a+1 / b=1 / 50\right\}. Assinale a opção que apresenta corretamente o número de elementos do conjunto P.
(A) 27
(B) 28
(C) 29
(D) 30
(E) 31

Passo 1

O enunciado pede o número de pares ordenados (a,b)\in\mathbb{Z}^*\times\mathbb{Z}^* tais que
\frac1a+\frac1b=\frac1{50}.
O conteúdo aqui é transformar essa condição numa fatoração que facilite contar soluções inteiras.

Passo 2

Começamos reunindo em um só quociente:
\frac{a+b}{ab} = \frac1{50}
multiplicando em cruz:
50\,(a+b) = ab.
Reescrevendo:
ab - 50a - 50b = 0.
Para fatorar, somamos e subtraímos 50^2:
ab - 50a - 50b + 2500 = 2500
o que dá
(a-50)(b-50) = 2500.

Passo 3

Defina
x = a-50, \quad y = b-50.
Então a equação vira
xy = 2500.
Cada divisor inteiro x de 2500 determina um y = 2500/x e, daí, um par (a,b) = (x+50,\;y+50).

Passo 4

Fatorando 2500 temos
2500 = 2^2\cdot 5^4,
logo o número de divisores positivos é
(2+1)\,(4+1) = 3\cdot5 = 15.
Como podemos usar divisores positivos ou negativos, há ao todo 15\times2 = 30 escolhas de x.

Passo 5

Cada escolha dá um par distinto (a,b), exceto quando x=-50 (então a=0, proibido em \mathbb{Z}^*); esse mesmo x gera y=-50 e b=0. Logo precisamos excluir essa única escolha. Assim sobram
30 - 1 = 29
soluções em \mathbb{Z}^*\times\mathbb{Z}^*.

Resposta

29

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