Dada uma matriz quadrada A, definimos o traço de A como a soma dos elementos de sua diagonal principal. Denotar-se-á tal número por \operatorname{tr}(A). Com base nessas informações calcule \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{\operatorname{tr}\left(M^{8 n-4}\right)}, onde M=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & i \\\\ 0 & 0 & 0 \\\ i & 0 & 1\end{array}\right) e i \in \mathbb{C}, e assinale a opção correta.
(A) -\frac{1}{15}
(B) -\frac{2}{15}
(C) \frac{1}{15}
(D) \frac{2}{15}
(E) 0

Passo 1

O enunciado pede o valor da série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\tr\bigl(M^{8n-4}\bigr)},
onde
M=\begin{pmatrix} 1 & 0 & i\\\\ 0 & 0 & 0\\\ i & 0 & 1 \end{pmatrix}.
O conteúdo principal é cálculo de traço de potência de matriz usando autovalores, depois soma de série geométrica.

Passo 2

Observamos que a segunda linha e a segunda coluna de M são todas nulas, de modo que M se decompõe em bloco
M=\begin{pmatrix} A_2 & 0\\\\ 0 & 0 \end{pmatrix},
com
A_2=\begin{pmatrix}1 & i\\\ i & 1\end{pmatrix}.
Logo os autovalores de M são os autovalores de A_2 e 0. Para A_2 a equação característica é
\lambda^2-2\lambda+2=0\quad\Longrightarrow\quad\lambda=1\pm i.

Passo 3

Portanto os autovalores de M valem \lambda_1=1+i, \lambda_2=1-i e \lambda_3=0. Assim
\tr\bigl(M^k\bigr)=(1+i)^k+(1-i)^k+0^k=(1+i)^k+(1-i)^k.
Usando a forma polar 1\pm i=\sqrt2\,e^{\pm i\pi/4} vem
\tr\bigl(M^k\bigr) =(\sqrt2)^k\bigl(e^{ik\pi/4}+e^{-ik\pi/4}\bigr) =2^{\tfrac k2+1}\cos\Bigl(\frac{k\pi}{4}\Bigr).

Passo 4

Tomando k=8n-4=4(2n-1) obtemos
\cos\!\Bigl(\frac{(8n-4)\pi}{4}\Bigr) =\cos\bigl((2n-1)\pi\bigr)=-1,
então
\tr\bigl(M^{8n-4}\bigr) =2^{\frac{8n-4}2+1}(-1) =-2^{4n-1}.
A soma fica
\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{\tr(M^{8n-4})} =-\sum_{n=1}^\infty 2^{-(4n-1)} =-2\sum_{n=1}^\infty\Bigl(\frac1{16}\Bigr)^n.

Passo 5

Como \sum_{n=1}^\infty r^n=\frac{r}{1-r} para |r|<1, com r=\tfrac1{16} temos
\sum_{n=1}^\infty\Bigl(\frac1{16}\Bigr)^n =\frac{\tfrac1{16}}{1-\tfrac1{16}} =\frac1{15}.
Logo
\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{\tr(M^{8n-4})} =-2\cdot\frac1{15} =-\frac{2}{15}.

Resposta

-\frac{2}{15}

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